הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 9 תשעז"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "===תרגיל=== יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם: א. <math>R^{-1}\circ...") |
|||
שורה 5: | שורה 5: | ||
ב. <math>R\circ R^{-1}=I_B</math> | ב. <math>R\circ R^{-1}=I_B</math> | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | תהיינה <math>A,B,C</math> קבוצות, <math>R\subseteq A\times B,T,S\subseteq B\times C</math>. הוכח או הפרך: | ||
+ | |||
+ | א. <math>T\circ R=S\circ R\iff T=S</math>. | ||
+ | |||
+ | ב. <math>T\subseteq S\Rightarrow T\circ R\subseteq S\circ R</math> | ||
+ | |||
+ | '''פיתרון:''' | ||
+ | |||
+ | א. הכיוון <math>\Leftarrow</math> בוודאי נכון. אבל הכיוון השני לא מתקיים. דוגמא נגדית: ניקח: | ||
+ | <math>A=\{ 1,2\} ,R=T=\{ (1,1)\} \subseteq A\times A,S=\{ (1,1),(2,2)\} \subseteq A\times A</math> | ||
+ | |||
+ | ונקבל: <math>T\circ R=S\circ R=\{ (1,1)\}</math> אבל כמובן <math>S\neq T</math>. | ||
+ | |||
+ | ב. הוכחה: יהי <math>(x,z)\in T\circ R</math> אזי לפי הגדרה קיים <math>y\in B</math> כך ש- <math>(x,y)\in R\land (y,z)\in T</math>. כעת, כיון ש-<math>T\subseteq S</math> נובע ש- <math>(y,z)\in S</math>, ולכן לפי הגדרת ההרכבה נקבל <math>(x,z)\in S\circ R</math>. | ||
==תכונות של יחסים על קבוצה== | ==תכונות של יחסים על קבוצה== |
גרסה מ־19:36, 8 בינואר 2017
תרגיל
יהיו . נגדיר את היחס: . בדוק האם:
א.
ב.
תרגיל
תהיינה קבוצות, . הוכח או הפרך:
א. .
ב.
פיתרון:
א. הכיוון בוודאי נכון. אבל הכיוון השני לא מתקיים. דוגמא נגדית: ניקח:
ונקבל: אבל כמובן .
ב. הוכחה: יהי אזי לפי הגדרה קיים כך ש- . כעת, כיון ש- נובע ש- , ולכן לפי הגדרת ההרכבה נקבל .
תכונות של יחסים על קבוצה
הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו
תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי
- R נקרא רפלקסיבי אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים )
- R נקרא סימטרי אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים )
- R נקרא טרנזיטיבי אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים )
- R נקרא אנטי סימטרי (חלש) אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים ובאופן שקול: )
דוגמאות:
- יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
- יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי
- יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
- יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
- יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
- יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
- יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי
הערה: יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא יכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמא: ואז R גם וגם, S לא ולא.