פולינום טיילור: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 6: | שורה 6: | ||
==פולינום טיילור== | ==פולינום טיילור== | ||
'''פולינום טיילור סביב נקודה <math>a</math>''' מדרגה <math>n</math> הנו פולינום מהצורה: | '''פולינום טיילור סביב נקודה <math>a</math>''' מדרגה <math>n</math> הנו פולינום מהצורה: | ||
:<math>P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^ | :<math>P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k</math> | ||
כאשר <math>f^{(n)}</math> היא הנגזרת ה- <math>n</math> של <math>f</math> . | כאשר <math>f^{(n)}</math> היא הנגזרת ה- <math>n</math> של <math>f</math> . | ||
גרסה אחרונה מ־22:06, 7 בפברואר 2017
כיון שכפל וחיבור הן פעולות שקל לחשבן, פולינומים הן פונקציות שקל לחשבן את ערכן בכל נקודה. לכן, בהנתן פונקציה כללית [math]\displaystyle{ f }[/math] , היינו שמחים למצוא פולינום קרוב אליה. כלומר, היינו רוצים למצוא פולינום [math]\displaystyle{ p }[/math] כך שהשארית
- [math]\displaystyle{ R(x)=f(x)-p(x) }[/math]
תהא "מינימלית". שימו לב כי הגדרת המינימליות תלויה בצורך. לדוגמא, יתכן ונרצה כי השארית תהא חסומה על כל הממשיים או תשאף לאפס בנקודה מסויימת.
פולינום טיילור
פולינום טיילור סביב נקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math] הנו פולינום מהצורה:
- [math]\displaystyle{ P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ f^{(n)} }[/math] היא הנגזרת ה- [math]\displaystyle{ n }[/math] של [math]\displaystyle{ f }[/math] .
שימו לב שבאופן ברור מההגדרה קיום פולינום טיילור מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math] דורש שהפונקציה תהא גזירה לפחות [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] . אנחנו נראה מיד שעל-מנת להעריך את השגיאה של הפולינום נדרוש כי הפונקציה תהא גזירה לפחות [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים באזור הנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] .
פולינום טיילור משמש לקירוב פונקציות מסיבות שנראה בהמשך (טור חזקות), ובזכות משפט טיילור עם שארית לגראנז'