אורך עקומה: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־22:18, 7 בפברואר 2017

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע [math]\displaystyle{ P=\{x_0,\ldots,x_n\} }[/math] , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

[math]\displaystyle{ \begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align} }[/math]

כאשר הנקודות [math]\displaystyle{ c_k }[/math] מקיימות [math]\displaystyle{ \forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k) }[/math] . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה [math]\displaystyle{ \sqrt{1+f'(x)^2} }[/math] . כיון שנתון כי [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] רציפה, גם [math]\displaystyle{ \sqrt{1+f'(x)^2} }[/math] רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx }[/math] וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]]
+[[קובץ:קירוב אורך גרף.png|שמאל|300px]]
-תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).
+תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math> . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).
-עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,...,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:
+עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math> , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:
-{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}
+<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}</math>
+כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.
-כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>. אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.
+הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> . כיון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.
+על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.
-הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. כיוון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.
-על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.
 [[קטגוריה:אינפי]]