אורך עקומה: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קובץ:קירוב אורך גרף.png| | [[קובץ:קירוב אורך גרף.png|שמאל|300px]] | ||
תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור). | תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math> . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור). | ||
עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי: | עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math> , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי: | ||
<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}</math> | |||
כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k: | כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'. | ||
הגענו לסכום | הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> . כיון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית. | ||
על כן סכומי | על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה. | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה אחרונה מ־22:18, 7 בפברואר 2017
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).
עבור חלוקת הקטע [math]\displaystyle{ P=\{x_0,\ldots,x_n\} }[/math] , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:
[math]\displaystyle{ \begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align} }[/math]
כאשר הנקודות [math]\displaystyle{ c_k }[/math] מקיימות [math]\displaystyle{ \forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k) }[/math] . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.
הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה [math]\displaystyle{ \sqrt{1+f'(x)^2} }[/math] . כיון שנתון כי [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] רציפה, גם [math]\displaystyle{ \sqrt{1+f'(x)^2} }[/math] רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.
על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx }[/math] וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.