שינויים

== שאלה 1 ==

'''א.''' הראה שאם <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\biggBig|a_{n+1}-a_n\biggBig|<b_n</math> וכן <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty</math> אזי הסדרה מתכנסת.

''';הוכחה:''' אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty </math> וגם <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל מלעיל ולכן מתכנסת.

יהי <math>\epsilon>0</math> . לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in\N</math> כך שלכל <math>p\in\N</math> מתקיים <math>\left|\displaystyle\sum_{ik=M}^{M+p}b_{i}b_k\right|<\epsilon</math> .

<math>\biggbegin{align}|a_n-a_m\bigg|&=\bigg|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-\cdots+a_{m+1}-a_m\bigg|\\&\le \biggBig|a_n-a_{n-1}\biggBig| + \biggBig|a_{n-1}-a_{n-2}\biggBig|+\cdots+\biggBig|a_{m+1}-a_m\biggBig|\\&\le b_{n-1}+b_{n-2}+\cdots+b_m=\sum_{ik=m}^{n-1}b_ib_k\le \sum_{ik=M}^{n-1}b_ib_k<\epsilon\end{align}</math>

''';דרך אחרת'''נשים לב כי <math>a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)</math> , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.

נשים לב ש- '''ב.''' אם הטור <math>a_n=\sum\limits_{i=0}^{n-=1} a_{i+1}-a_i^\infty b_n</math> אז קיימת סדרה <math>a_0\{a_n\}_{n=01}^\infty</math> ובגלל שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי המקיימת לכל <math>\sum b_nn</math> כך גם : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקייםוגם מתבדרת.

'''ב.''' אם הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_{n}</math> אז קיימת סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\bigg|a_{n+1}-a_n\bigg|<b_n</math> וגם מתבדרת. ''';הוכחה:''' נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): <math>S_n=\sum\limits_{ik=1}^{n-1}b_ib_k</math> ונגדיר <math>S_1=0</math>

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: <math>\biggBig|S_{n+1}-S_n\biggBig|=\biggleft|\sum\limits_{ik=1}^n b_ib_k-\sum\limits_{ik=1}^{n-1}b_ib_k\biggright|=|b_n|=b_n</math> מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>

יהי ;תיקוןתהי <math>S_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum (b_n-n^2)</math> הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים <math>\biggBig|s_n-s_{n-1}\biggBig|=b_n-n^2<b_n</math>

'''א.''' <math>\displaystyle\sum\fraclimits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}</math>

''';פתרוןראשית נבדוק התכנסות בהחלט:''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\right|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math>

ראשית נבדוק התכנסות בהחלט<math>\ln(n)>1</math> לכל <math>n\ge3</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\sumfrac1n\bigg|le\frac{(-1)^n\cdot\ln(n)}{n}</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\bigg|displaystyle\sum_{n=1}^\suminfty\fracdfrac{\ln(n)}{n}</math>מתבדר.

ידוע <math>1<\ln(n)</math> לכל <math>3lim\le limits_{n</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac1{nto\infty}\le \fracdfrac{\ln(n)}{n}=0</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\sum\frac{\ln(nואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל)}{n}</math> מתבדר.ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ:

ידוע נביט בפונקציה <math>f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{\ln(nx)}{nx}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן , מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץלהראות כי <math>f':(x)\le0</math> כאשר <math>x\ge3</math> .

נביט בפונקציה <math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math>, מספיק להראות ש- וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>f'(x)\le 0ge e</math> כאשר ובפרט עבור <math>x\ge 3ge3</math>.

'''ב.''' <math>\sum (-1)^n\cdot\sin\left(\frac1{n^2}\right)</math> ''';פתרון:'''  

<math>\frac{\sin\left(\frac1frac{1}{n^2}\right)}{\frac1{n^2}}\to 1to1</math> ולכן הטורים חברים.

מכיון <math>\sumdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> מתכנס אז גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\frac1tfrac{1}{n^2}\right)</math> .

'''ג.''' <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{(2n)!}{n^{2n}}</math> '''פתרון:'''

<math>\fracbegin{align}\fracdfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\fracdfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\fracdfrac{\fracdfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\fracdfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac1frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot \Biggleft(\biggleft(1-\frac1frac{1}{n+1}\biggright)^{n+1}\Biggright)^2\to \frac4frac{4}{e^2}<1\end{align}</math>

'''א.''' <math>f(x)=x\cdot\sin\left(\frac1tfrac{1}{x^2}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>

<math>\lim_{x\to 0to0^+}f(x)=\lim_{x\to 0to0^+}x\cdot\sin\left(\frac1tfrac{1}{x^2}\right)=0</math> , חסומה כפול <math>0</math> .

<math>\lim_{x\to 1to1^-}f(x)=\lim_{x\to 1to1^-}x\cdot\sin\left(\frac1tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math> . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

<math>\lim_{x\to\infty}x\cdot\sin\left(\frac1tfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}x^2\cdot\sin\left(\frac1tfrac{1}{x^2}\right)\cdot \lim_{x\to\infty}\frac1frac{1}{x}=1\cdot 0=0</math>

<math>\lim_{x\to 1to1^+}f(x)=\lim_{x\to 1to1^+}x\cdot\sin\left(\frac1tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math> . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

מכיון שהתחום <math>[-1,1]</math> הנו התמונה של <math>g</math>, ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).

''';פתרון נוסף (עם סדרות):'''

<math>f(x):=\begin{cases}2-x</math> כאשר <math>&x\in\Q</math> <math>f(x):=\frac1\\dfrac{1}{x}</math> כאשר <math>&x\notin\Q\end{cases}</math>

''';פתרון:''' נתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות.

הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: <math>2-x=\frac1frac{1}{x}</math>

במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונאליים, אי-רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל- <math>f(x)</math> בין אם הוא רציונאלי או לא.

נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>x=1</math>, '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.'''

מכיון שהגבולות <math>\lim\limits_{x\to 1to1}\fracdfrac{\frac1frac{1}{x}-1}{x-1},\lim\limits_{x\to 1to1}\fracdfrac{(2-x)-1}{x-1}\in\R</math>

אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל- <math>1</math> יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל:

<math>(2-x)'(1)=-1=-\frac1frac{1}{1^2}=\left(-\frac1frac{1}{x^2}\right)(1)=\left(\frac1frac{1}{x}\right)'(1)</math>

'''ולכן הפונקציה גזירה בנקודה ''' <math>x=1</math>.'''

<math>\Biggbegin{align}\frac{d}{dx}\left(x^{\cos\leftbig(e^{x^2}\rightbig)}\Biggright)'&=\Biggfrac{d}{dx}\left(e^{\cos\leftbig(e^{x^2}\rightbig)\cdot\ln(x)}\Biggright)'\\&=e^{\cos\leftbig(e^{x^2}\rightbig)\cdot\ln(x)}\cdot\Biggfrac{d}{dx}\left(\cos\leftbig(e^{x^2}\rightbig)\cdot\ln(x)\Biggright)'=x^{\cos\leftbig(e^{x^2}\rightbig)}\cdot\Biggleft(\frac{\cos\big(e^{x^2}\big)}{x}-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\leftbig(e^{x^2}\rightbig)+\frac{\cos\left(e^{x^2}\right)}\end{xalign}\Bigg)</math>

<math>\Biggbegin{align}\frac{d}{dx}\left(\arctan\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)\Biggright)'&=\fracdfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\fracdfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)'}{1+\left(\fracdfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}\\&=\fracdfrac{\fracdfrac{\fracdfrac{1+x^2}{x}-2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\fracdfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\fracdfrac{\fracdfrac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\fracdfrac{(1+x^2+1)^2+\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2\big(1-4x^24\ln(x)\big)}{x\big((1+x^2+1)^2+x\cdot\ln^2(x)\big)}\end{align}</math>