שינויים
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )
==שאלה 2==
נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
<math>h(2)=2f(2)=שאלה 12\cdot1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> .
<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}''(yx)-f=(3x^{2-1}(y_08x+2)}{y'=6x-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}8</math>זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
<math>f^{(3)}(x)=(6x-8)'=שאלה 2==6</math>
<math>h\begin{align}P_5(2x)&=2f\sum_{k=0}^5\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\cdot 1=frac{f''(2</math> ואילו <math>h)}{2}(0x-2)=0f^2+\frac{f^{(03)=}(2)}{6}(x-2)^3+0+0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,&=2]:h^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=1-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}</math>.
==שאלה 4==הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב)תהי - <math>f\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים (x'קופצים')=x^3ב-4x^2+2x<math>\pi</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>
<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N)</math>
גרף באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]
==שאלה 5==
א) סדרה ממשית <math>\{a_n\}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):
<math>\forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)</math>
ב) ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה- <math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- <math>n</math> של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי).
היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.
ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})</math>
==שאלה 6==
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math>.
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math>.
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math>. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.<math>x(2)=8-8/3\frac83=5 \frac{1}{3}</math>frac13\ , <math>\ x(0)=0</math>\ , <math>\ x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac{1}{3}frac13</math>.