פתרון אינפי 1, תש"נ: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־00:57, 9 בפברואר 2017

שאלה 2

נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ \forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x) }[/math] . [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

[math]\displaystyle{ h(2)=2f(2)=2\cdot1=2 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ h(0)=0f(0)=0 }[/math] ולכן לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ \exists x_0\in[0,2]:h(x)=1 }[/math] .

בנקודה זו מתקיים הדרוש - [math]\displaystyle{ h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0} }[/math] . [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה מוגדרת וגזירה [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים בסביבה [math]\displaystyle{ S }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] . אז [math]\displaystyle{ \forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x) }[/math] , כאשר [math]\displaystyle{ P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k }[/math] .

ב)תהי [math]\displaystyle{ f(x)=x^3-4x^2+2x }[/math] . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - [math]\displaystyle{ f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align}P_5(x)&=\sum_{k=0}^5\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0\\&=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align} }[/math]

ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים [math]\displaystyle{ R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x) }[/math] ולכן השארית היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , כצפוי.

שאלה 4

הפונקציה בכל מחזור [math]\displaystyle{ \pi }[/math] תעלה בדיוק ב- [math]\displaystyle{ \pi }[/math] , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- [math]\displaystyle{ \pi }[/math] בכל פעם של קטע בודד באורך [math]\displaystyle{ \pi }[/math] שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי: [math]\displaystyle{ f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi }[/math] .

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: [math]\displaystyle{ f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12 }[/math]

[math]\displaystyle{ \iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N) }[/math]

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית [math]\displaystyle{ \{a_n\}^\infty }[/math] תקרא סדרת קושי אם("ם): [math]\displaystyle{ \forall \epsilon\gt 0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m\gt N \wedge n\gt N \to |a_m-a_n|\lt \epsilon) }[/math]

ב) ניקח את הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שהאיבר ה- [math]\displaystyle{ n }[/math]-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- [math]\displaystyle{ n }[/math] של [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל [math]\displaystyle{ \pi }[/math], אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.

ג) נשים לב שהטור [math]\displaystyle{ \sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!}) }[/math]

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא [math]\displaystyle{ v(t)=4-t^2 }[/math] ולכן האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C }[/math] , ועם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ C=0 }[/math] .

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של [math]\displaystyle{ x(t)=4t-\frac{t^3}{3} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math] .

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה [math]\displaystyle{ t=2 }[/math] . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. [math]\displaystyle{ x(2)=8-\frac83=5\frac13\ ,\ x(0)=0\ ,\ x(3)=12-9=3 }[/math] ולכן ההעתק המקסימלי הוא [math]\displaystyle{ 5\frac13 }[/math] .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 ([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )
-==שאלה 1==
-(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי  <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
-הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-<math>x_0</math> ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>.
-לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: <math>\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
-לפי ההנחות <math>f^{-1}</math> רציפה ב<math>y_0</math>. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0</math>, ובאותו האופן <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}</math>, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
-<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>
-זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
 ==שאלה 2==
+נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
-נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)</math>.
+<math>h(2)=2f(2)=2\cdot1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> .
-h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
-<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>.
-בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0)=\frac{1}{x_0}</math>. מש"ל.
+בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . <math>\blacksquare</math>
 ==שאלה 3==
+א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math> .
-א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.
+ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math> . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
-ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
 נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math>
@@ שורה 38: / שורה 22: @@
 <math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math>
-<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2+f'''(2)(x-2)^3+0+0</math>
+<math>\begin{align}P_5(x)&=\sum_{k=0}^5\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0\\&=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}</math>
-<math>=2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+(12-8)(x-2)^2+6(x-2)^3</math>
+ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
-<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+4(x-2)^2+6(x-2)^3</math>, ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא 0, כצפוי.
+מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא <math>0</math> , כצפוי.
 ==שאלה 4==
-באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]
+הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- <math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
+נימוק פורמלי: <math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math> .
+גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
+נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>
+<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N)</math>
+זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
+גרף באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]
 ==שאלה 5==
-א) סדרה ממשית <math>\left \{ a_n\right \}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):
+א) סדרה ממשית <math>\{a_n\}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):
-<math>\forall \epsilon >0 \exists N \in\mathbb{N}\forall m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}:(m>N \wedge n>N \rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon )</math>
+<math>\forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)</math>
+ב) ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה- <math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- <math>n</math> של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי).
+היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.
-ב)ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה-<math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי).
+ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})</math>
-היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.
 ==שאלה 6==
 השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
-המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math>.
+המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math> , ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math> .
-לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math>.
+לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math> .
-הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math>. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3.
+הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math> . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.
-<math>x(2)=8-8/3=5 \frac{1}{3}</math>, <math>x(0)=0</math>, <math>x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac{1}{3}</math>.
+<math>x(2)=8-\frac83=5\frac13\ ,\ x(0)=0\ ,\ x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5\frac13</math> .