[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
==סדרות מונוטוניות==
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל איבר אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)
''';דוגמאות.'''*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...\ldots</math>
*<math>0,0.9,0.99,0.999,...\ldots</math>
*<math>1,\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{3}frac13,...\ldots</math>
''';משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac{1}{n}dfrac1n+\frac{1}dfrac1{n+1}+...\cdots+\frac{1}dfrac1{3n}</math>
;פתרון
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n</math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\le0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
'''פתרון.'''נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים :<math>\displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\a_{n+1}-a_n=\leq frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align}</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
::לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}0</math>, ולכן הסדרה מתכנסת.
::<math>a_{n+1}-a_nfont size=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}4 color=0#a7adcd>'''תרגיל.'''</mathfont>
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math> . כעת נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.:<math>\begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align}</math>
הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות.
;פתרוןאנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי <font size=4 color=#a7adcdmath>a_n</math> גדולים בהתאמה מאברי <math>b_n</math> (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם '''תרגיל.אי-שליליים''' </font>.
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחאת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו): ::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math> ::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math> הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות. '''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''. ::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\fracdfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_na_n\cdot b_n}=\fracdfrac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_na_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\fracdfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\geq 0ge0</math>
אם כך, מתקיים כי
::<math>a_{n+1}=\fracdfrac{a_n+b_n}{2}\leqle\fracdfrac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_na_n\cdot b_n}\geqge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>
ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.
נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:
::<math>b_2\leq le b_n\leq le a_n \leq le a_2</math>
ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> יהי <math>0<c<1</math>. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה :<math>\begin{cases}a_1=c</math> ונוסחאת הנסיגה :<math>\\a_{n+1}=\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{a_n^2}{2}\end{cases}</math>
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
;פתרון
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:
'''פתרון.''' נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על מנת לבדוק מונוטוניות: :<math>a_{n+1}-a_n=\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{a_n^2}{2} - \left(\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\fracdfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
עבור <math>n=1</math> :
עבור n=1:<math>a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}<0</math>
:(זה נכון כיון ש- <math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-<c\cdot1=\frac{c^2}{2}-\frac{</math> לפי הנתון <math>c}{2}<01</math>.)
(זה נכון כיוון ש <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math>.)
נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math>.
כיוון כיון שכל
איברי אברי הסדרה חיוביים (כל
איבר אבר בסדרה מוגדר על
-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי
השיוויון -השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math>.
לפי החישוב לעיל מתקיים:
::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>
כפי שרצינו.
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על ידי אפס (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: '''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim_{n\rightarrow\infty}lim a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}L</math>. זה נכון כיוון שגבול סדרה נקבע על פי המקום אליה האיברים שואפים באינסוף, ולא על פי מתי היא מתחילה.נביט בנוסחת הנסיגה
'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיוון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש :<math>a_{n+1}=\lim dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n = L^2}{2}</math>. נביט בנוסחאת הנסיגה
::<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
נפעיל גבול על שני הצדדים (כיוון שזו סדרה מתכנסת, כאמור) ::<math>\lim displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right]</math>
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
::<math>\begin{align}L=\fracdfrac{c}{2}+\fracdfrac{L^2}{2}</math> ::<math>\\L^2-2L+c=0</math> ::<math>\\L=1\pm\sqrt{1-c}</math> כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיוון ש <math>a_1=c<1<1+\sqrtend{1-calign}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא ייתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
לכן סה"כ, גבול הסדרה הינו הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>
