שינויים

הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n </math> מתכנסת אם"ם לכל תת -סדרה a_n_k <math>a_{n_k}</math> יש -תת סדרה מתכנסת.

===;הפרכה===כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיוון מכיון שכל תת -סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו -ויירשטראס יש לה תת -סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>) ==שאלה 2==בדוק התכנסות של הטורים הבאים: ===א===<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math> נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת: <math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}</math> קל לראות כי <math>\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty</math> ולכן <math>b_n\to\infty</math> . לכן <math>|a_n|\to\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''.  ===ב===<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}</math> נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי <math>\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1</math> ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0): <math>\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}</math> זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''. ===ג===<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}</math> נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל <math>\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1</math> ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''. ==שאלה 4==זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות. ===א===<math>e^{-\frac1{x^3}}</math> נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו <math>\infty</math> ולכן זה '''מין שני'''. ===ב===<math>\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}</math> כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר <math>\sin(x^2)</math> חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k\ge0</math> . פרט ל-0, הן כולן '''מין ראשון''' מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).  ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''. ===ג===<math>f'(x)</math> כאשר <math>f(x)=|x^2-1|</math> נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1\ ,\ x<-1</math> מתקיים <math>f(x)=x^2-1</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math> . בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math> . קל אפוא לראות שבנקודות <math>\pm1</math> יש אי-רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני). ==שאלה 5==אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים? ===א===<math>x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> . קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע: <math>\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0</math> אפס כפול חסומה <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0</math> שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. ===ב===<math>\dfrac1{1+\ln(x)}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> . קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם. ===ג===<math>\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math> . זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום. ==שאלה 7==חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב- <math>x_0=2</math> . הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באזור הנקודה <math>x_0</math> , הנו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math> במקרה שלנו <math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]=\frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}</math> ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{x-2}{7}</math> =המבחן של דר' שמחה הורוביץ===שאלה 3==תהי <math>g</math> פונקציה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . נניח שקיים <math>\varepsilon>0</math> כך שמתקיים <math>g(x)>\varepsilon</math> לכל <math>x\in(0,1)</math> . הוכח שהפונקציה <math>\dfrac1g</math> רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . ;הוכחהלפי הנתון, לכל <math>\alpha>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2</math> . לכן, מתקיים <math>\left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> ==שאלה 6==תהי <math>f</math> פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- <math>f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math> . עוד נניח שלכל <math>x\ne 0</math> מתקיים <math>f'(x)\ne 0</math> . הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math> . ;הוכחהמכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה <math>x=0</math> שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה <math>\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math> . מכיון ש- <math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה <math>f^{(5)}>0</math> . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים <math>f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math> . נותר להוכיח כי <math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי <math>f(x)\le0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור <math>x>0</math> כלשהוא. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.