גרסה אחרונה מ־15:44, 12 בפברואר 2017

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

הוכח/הפרך: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] יש-תת סדרה מתכנסת.

הפרכה

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math])

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:

[math]\displaystyle{ b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!} }[/math]

קל לראות כי [math]\displaystyle{ \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ |a_n|\to\infty }[/math] ולכן הטור מתבדר לחלוטין.

ב

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי

[math]\displaystyle{ \dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1 }[/math]

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):

[math]\displaystyle{ \dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)} }[/math]

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ג

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל

[math]\displaystyle{ \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}\lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 4

זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.

א

[math]\displaystyle{ e^{-\frac1{x^3}} }[/math]

נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו [math]\displaystyle{ \infty }[/math] ולכן זה מין שני.

ב

[math]\displaystyle{ \frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|} }[/math]

כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר [math]\displaystyle{ \sin(x^2) }[/math] חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן [math]\displaystyle{ \pm \sqrt{\pi k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\ge0 }[/math] . פרט ל-0, הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).

ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.

ג

[math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=|x^2-1| }[/math]

נחלק לתחומים. בתחום [math]\displaystyle{ x\gt 1\ ,\ x\lt -1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=2x }[/math] .

בתחום [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=1-x^2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=-2x }[/math] .

קל אפוא לראות שבנקודות [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).

שאלה 5

אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?

א

[math]\displaystyle{ x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] .

קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0 }[/math] אפס כפול חסומה

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0 }[/math]

שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

[math]\displaystyle{ \dfrac1{1+\ln(x)} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] .

קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה [math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math] שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.

ג

[math]\displaystyle{ \sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (-\infty,\infty) }[/math] .

זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: [math]\displaystyle{ \sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x }[/math] ולכן רציפה במ"ש בתחום.

שאלה 7

חשב את הקירוב הלינארי של [math]\displaystyle{ h=g^{-1}\circ f^{-1} }[/math] ב- [math]\displaystyle{ x_0=2 }[/math] .

הקירוב הלינארי של [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] באזור הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] , הנו [math]\displaystyle{ h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0) }[/math]

במקרה שלנו

[math]\displaystyle{ h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]= \frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)} }[/math]

ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ h(x)=7-\frac{x-2}{7} }[/math]

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] . נניח שקיים [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ g(x)\gt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math] . הוכח שהפונקציה [math]\displaystyle{ \dfrac1g }[/math] רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] .

הוכחה

לפי הנתון, לכל [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|\lt \alpha\cdot\varepsilon^2 }[/math] .

לכן, מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|\lt \dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha }[/math]

כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

שאלה 6

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- [math]\displaystyle{ f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f^{(5)}(0)\gt 0 }[/math] . עוד נניח שלכל [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\ne 0 }[/math] . הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math] .

הוכחה

מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה [math]\displaystyle{ \dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt x }[/math] .

מכיון ש- [math]\displaystyle{ f^{(5)}(0)\gt 0 }[/math] והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה [math]\displaystyle{ f^{(5)}\gt 0 }[/math] . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5\gt 0 }[/math] .

נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ f(x)\le0 }[/math] אזי לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] כלשהוא. אבל גם [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 =המבחן של פרופ' זלצמן=
 ==שאלה 1==
-הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה a_n_k יש תת סדרה מתכנסת
+הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה <math>a_{n_k}</math> יש-תת סדרה מתכנסת.
-===הפרכה===
+;הפרכה
-כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיוון שכל תת סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו ויירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
+כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
 ==שאלה 2==
@@ שורה 10: / שורה 11: @@
 ===א===
-<math>\sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
-נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבל:
+נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:
-<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2^{n^2}}{n!}</math>
+<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}</math>
-קל לראות ש<math>b_{n+1}/b_n \rightarrow\infty</math> ולכן <math>b_n\rightarrow\infty</math>. ולכן <math>|a_n|\rightarrow\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''
+קל לראות כי <math>\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty</math> ולכן <math>b_n\to\infty</math> . לכן <math>|a_n|\to\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''.
 ===ב===
-<math>\sum (-1)^n\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}</math>
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}</math>
-נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש
+נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי
-<math>\frac{\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}}{\frac{1}{n(\log n)^2}}\rightarrow 1</math>
+<math>\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1</math>
-ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת לאפס):
+ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):
-<math>\frac{2^n}{2^n(\log{2^n})^2}=\frac{1}{n^2(\log{2})^2}</math>
+<math>\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}</math>
 זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''.
 ===ג===
-<math>\sum (-1)^n\frac{\pi^n}{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}</math>
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}</math>
-נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל <math>|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\pi\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\rightarrow \frac{\pi}{4}<1</math>
+נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל
+<math>\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1</math>
 ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''.
 ==שאלה 4==
-זהה וסווג את נקודות אי הרציפות
+זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.
 ===א===
-<math>e^{-\frac{1}{x^3}}</math>
+<math>e^{-\frac1{x^3}}</math>
-נקודת אי הרציפות היא אפס. הגבול משמאל הינו אינסוף ולכן זה '''מין שני'''.
+נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו <math>\infty</math> ולכן זה '''מין שני'''.
 ===ב===
-<math>\frac{sin(x^2)}{|sin(x^2)|}</math>
+<math>\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}</math>
-כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת אחד כאשר <math>sin(x^2)</math> חיובי, ומינוס אחד כאשר הוא שלילי, באפס היא אינה מוגדרת ולכן זו נקודת אי רציפות. לכן סה"כ נקודות אי הרציפות הינן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k> 0</math> ואפס. פרט לאפס, הן כולן '''מין ראשון''' מכיוון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי הרציפות או משמאלה).
+כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר <math>\sin(x^2)</math> חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k\ge0</math> . פרט ל-0, הן כולן '''מין ראשון''' מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).
-באפס, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי רציפות '''סליקה'''.
+ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.
 ===ג===
 <math>f'(x)</math> כאשר <math>f(x)=|x^2-1|</math>
-נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1,x<-1</math>  מתקיים <math>f(x)=x^2-</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math>
+נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1\ ,\ x<-1</math> מתקיים <math>f(x)=x^2-1</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math> .
-בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math>.
+בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math> .
-קל איפוא לראות שבנקודות פלוס מינוס אחד יש אי רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת לשתים מצד אחד ומינוס שתים מצד שני).
+קל אפוא לראות שבנקודות <math>\pm1</math> יש אי-רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).
 ==שאלה 5==
@@ שורה 67: / שורה 70: @@
 ===א===
-<math>xsin(\frac{1}{x^2})</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>.
+<math>x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
 קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
-<math>\lim_{x\rightarrow 0} xsin(\frac{1}{x^2}) =0</math> אפס כפול חסומה
+<math>\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0</math> אפס כפול חסומה
-<math>\lim_{x\rightarrow \infty} xsin(\frac{1}{x^2}) = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}\cdot\frac{sin(\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}}=0\cdot 1=0</math>
+<math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0</math>
-שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''
+שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.
 ===ב===
-<math>\frac{1}{1+logx}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>
+<math>\dfrac1{1+\ln(x)}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
 קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.
 ===ג===
-<math>\sqrt{|cos(\pi x)|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math>
+<math>\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math> .
-זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום.
+זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום.
 ==שאלה 7==
-חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב<math>x_0=2</math>.
+חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב- <math>x_0=2</math> .
+הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באזור הנקודה <math>x_0</math> , הנו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>
-הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באיזור הנקודה x_0 הינו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>
+במקרה שלנו
-במקרה שלנו <math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=(g^{-1})'(f^{-1}(2))(f^{-1})'(2)=\frac{1}{g'(g^{-1}(f^{-1}(2))} \frac{1}{f'(f^{-1}(2))}= </math>
+<math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]=
+\frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}</math>
-ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{1}{7}(x-2)</math>
+ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{x-2}{7}</math>
 =המבחן של דר' שמחה הורוביץ=
 ==שאלה 3==
-תהי g פונקציה רציפה במ"ש בקטע (0,1). נניח שקיים אפסילון גדול מאפס כך שמתקיים <math>g(x)>\epsilon</math> לכל <math>x\in (0,1)</math>. הוכח שהפונקציה <math>\frac{1}{g}</math> רציפה במ"ש בקטע (0,1).
+תהי <math>g</math> פונקציה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . נניח שקיים <math>\varepsilon>0</math> כך שמתקיים <math>g(x)>\varepsilon</math> לכל <math>x\in(0,1)</math> . הוכח שהפונקציה <math>\dfrac1g</math> רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> .
-===הוכחה===
+;הוכחה
-לפי הנתון, לכל אלפא גדול מאפס קיים דלתא גדול מאפס כך שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>|g(x_1)-g(x_2)|<\alpha\epsilon^2</math>.
+לפי הנתון, לכל <math>\alpha>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2</math> .
-לכן, מתקיים ש<math>|\frac{1}{g(x_1)}-\frac{1}{g(x_2)}|=|\frac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)g(x_2)}|<\frac{\alpha\epsilon^2}{\epsilon^2}=\alpha</math>
+לכן, מתקיים <math>\left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha</math>
-כפי שרצינו.
+כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
 ==שאלה 6==
-תהי f פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש <math>f(0)=f'(0)=...=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math>. עוד נניח שלכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f'(x)\neq 0</math>. הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math>
+תהי <math>f</math> פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- <math>f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math> . עוד נניח שלכל <math>x\ne 0</math> מתקיים <math>f'(x)\ne 0</math> . הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math> .
-===הוכחה===
+;הוכחה
-מכיוון שהפונקציה ו4 נגזרותיה מתאפסות באפס, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה אפס שווה זהותית לאפס. השארית היא מהצורה
+מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה <math>x=0</math> שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה <math>\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math> .
-<math>\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math>.
-מכיוון ש<math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של אפס בה <math>f^{(5)}>0</math>. לכן בסביבה ימנית של אפס מתקיים <math>f(x)=\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math>.
+מכיון ש- <math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה <math>f^{(5)}>0</math> . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים <math>f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math> .
-נותר להוכיח ש<math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. מכיוון שf חיובית בסביבת אפס ושווה ממש לאפס באפס לפי משפט לגרנז' הנגזרת הראשונה חיובית באיזו נקודה מימין לאפס. אם היא הייתה גם שלילית באיזו נקודה מימין לאפס, אזי היא הייתה מתאפסת בין לבין לפי משפט רול, בסתירה לנתון. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>f'(x)>0</math> ולכן הפונקציה מונוטונית עולה, ולכן חיובית לכל <math>x>0</math> כפי שרצינו.
+נותר להוכיח כי <math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי <math>f(x)\le0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור <math>x>0</math> כלשהוא. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.