גרסה אחרונה מ־15:44, 12 בפברואר 2017

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

הוכח/הפרך: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] יש-תת סדרה מתכנסת.

הפרכה

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math])

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:

[math]\displaystyle{ b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!} }[/math]

קל לראות כי [math]\displaystyle{ \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ |a_n|\to\infty }[/math] ולכן הטור מתבדר לחלוטין.

ב

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי

[math]\displaystyle{ \dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1 }[/math]

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):

[math]\displaystyle{ \dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)} }[/math]

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ג

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל

[math]\displaystyle{ \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}\lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 4

זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.

א

[math]\displaystyle{ e^{-\frac1{x^3}} }[/math]

נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו [math]\displaystyle{ \infty }[/math] ולכן זה מין שני.

ב

[math]\displaystyle{ \frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|} }[/math]

כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר [math]\displaystyle{ \sin(x^2) }[/math] חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן [math]\displaystyle{ \pm \sqrt{\pi k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\ge0 }[/math] . פרט ל-0, הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).

ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.

ג

[math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=|x^2-1| }[/math]

נחלק לתחומים. בתחום [math]\displaystyle{ x\gt 1\ ,\ x\lt -1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=2x }[/math] .

בתחום [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=1-x^2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=-2x }[/math] .

קל אפוא לראות שבנקודות [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).

שאלה 5

אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?

א

[math]\displaystyle{ x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] .

קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0 }[/math] אפס כפול חסומה

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0 }[/math]

שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

[math]\displaystyle{ \dfrac1{1+\ln(x)} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] .

קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה [math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math] שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.

ג

[math]\displaystyle{ \sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (-\infty,\infty) }[/math] .

זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: [math]\displaystyle{ \sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x }[/math] ולכן רציפה במ"ש בתחום.

שאלה 7

חשב את הקירוב הלינארי של [math]\displaystyle{ h=g^{-1}\circ f^{-1} }[/math] ב- [math]\displaystyle{ x_0=2 }[/math] .

הקירוב הלינארי של [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] באזור הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] , הנו [math]\displaystyle{ h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0) }[/math]

במקרה שלנו

[math]\displaystyle{ h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]= \frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)} }[/math]

ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ h(x)=7-\frac{x-2}{7} }[/math]

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] . נניח שקיים [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ g(x)\gt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math] . הוכח שהפונקציה [math]\displaystyle{ \dfrac1g }[/math] רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] .

הוכחה

לפי הנתון, לכל [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|\lt \alpha\cdot\varepsilon^2 }[/math] .

לכן, מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|\lt \dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha }[/math]

כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

שאלה 6

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- [math]\displaystyle{ f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f^{(5)}(0)\gt 0 }[/math] . עוד נניח שלכל [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\ne 0 }[/math] . הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math] .

הוכחה

מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה [math]\displaystyle{ \dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt x }[/math] .

מכיון ש- [math]\displaystyle{ f^{(5)}(0)\gt 0 }[/math] והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה [math]\displaystyle{ f^{(5)}\gt 0 }[/math] . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5\gt 0 }[/math] .

נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ f(x)\le0 }[/math] אזי לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] כלשהוא. אבל גם [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 =המבחן של פרופ' זלצמן=
 ==שאלה 1==
-הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה a_n_k יש תת סדרה מתכנסת
+הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה <math>a_{n_k}</math> יש-תת סדרה מתכנסת.
-===הפרכה===
+;הפרכה
-כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיוון שכל תת סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו ויירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
+כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
 ==שאלה 2==
@@ שורה 10: / שורה 11: @@
 ===א===
-<math>\sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
-נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבל:
+נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:
-<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2^{n^2}}{n!}</math>
+<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}</math>
-קל לראות ש<math>b_{n+1}/b_n \rightarrow\infty</math> ולכן <math>b_n\rightarrow\infty</math>. ולכן <math>|a_n|\rightarrow\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''
+קל לראות כי <math>\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty</math> ולכן <math>b_n\to\infty</math> . לכן <math>|a_n|\to\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''.
 ===ב===
-<math>\sum (-1)^n\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}</math>
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}</math>
-נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש
+נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי
-<math>\frac{\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}}{\frac{1}{n(\log n)^2}}\rightarrow 1</math>
+<math>\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1</math>
-ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת לאפס):
+ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):
-<math>\frac{2^n}{2^n(\log{2^n})^2}=\frac{1}{n^2(\log{2})^2}</math>
+<math>\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}</math>
 זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''.
 ===ג===
-<math>\sum (-1)^n\frac{\pi^n}{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}</math>
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}</math>
-נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל <math>|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\pi\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\rightarrow \frac{\pi}{4}<1</math>
+נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל
+<math>\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1</math>
 ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''.
 ==שאלה 4==
-זהה וסווג את נקודות אי הרציפות
+זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.
 ===א===
-<math>e^{-\frac{1}{x^3}}</math>
+<math>e^{-\frac1{x^3}}</math>
-נקודת אי הרציפות היא אפס. הגבול משמאל הינו אינסוף ולכן זה '''מין שני'''.
+נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו <math>\infty</math> ולכן זה '''מין שני'''.
 ===ב===
-<math>\frac{sin(x^2)}{|sin(x^2)|}</math>
+<math>\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}</math>
-כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת אחד כאשר <math>sin(x^2)</math> חיובי, ומינוס אחד כאשר הוא שלילי, באפס היא אינה מוגדרת ולכן זו נקודת אי רציפות. לכן סה"כ נקודות אי הרציפות הינן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k> 0</math> ואפס. פרט לאפס, הן כולן '''מין ראשון''' מכיוון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי הרציפות או משמאלה).
+כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר <math>\sin(x^2)</math> חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k\ge0</math> . פרט ל-0, הן כולן '''מין ראשון''' מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).
-באפס, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי רציפות '''סליקה'''.
+ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.
 ===ג===
 <math>f'(x)</math> כאשר <math>f(x)=|x^2-1|</math>
-נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1,x<-1</math>  מתקיים <math>f(x)=x^2-</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math>
+נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1\ ,\ x<-1</math> מתקיים <math>f(x)=x^2-1</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math> .
-בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math>.
+בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math> .
-קל איפוא לראות שבנקודות פלוס מינוס אחד יש אי רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת לשתים מצד אחד ומינוס שתים מצד שני).
+קל אפוא לראות שבנקודות <math>\pm1</math> יש אי-רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).
 ==שאלה 5==
@@ שורה 67: / שורה 70: @@
 ===א===
-<math>xsin(\frac{1}{x^2})</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>.
+<math>x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
 קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
-<math>\lim_{x\rightarrow 0} xsin(\frac{1}{x^2}) =0</math> אפס כפול חסומה
+<math>\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0</math> אפס כפול חסומה
-<math>\lim_{x\rightarrow \infty} xsin(\frac{1}{x^2}) = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}\cdot\frac{sin(\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}}=0\cdot 1=0</math>
+<math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0</math>
-שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''
+שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.
 ===ב===
-<math>\frac{1}{1+logx}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>
+<math>\dfrac1{1+\ln(x)}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
 קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.
 ===ג===
-<math>\sqrt{|cos(\pi x)|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math>
+<math>\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math> .
-זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום.
+זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום.
 ==שאלה 7==
-חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב<math>x_0=2</math>.
+חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב- <math>x_0=2</math> .
+הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באזור הנקודה <math>x_0</math> , הנו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>
-הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באיזור הנקודה x_0 הינו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>
+במקרה שלנו
-במקרה שלנו <math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=(g^{-1})'(f^{-1}(2))(f^{-1})'(2)=\frac{1}{g'(g^{-1}(f^{-1}(2))} \frac{1}{f'(f^{-1}(2))}= </math>
+<math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]=
+\frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}</math>
-ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{1}{7}(x-2)</math>
+ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{x-2}{7}</math>
 =המבחן של דר' שמחה הורוביץ=
 ==שאלה 3==
-תהי g פונקציה רציפה במ"ש בקטע (0,1). נניח שקיים אפסילון גדול מאפס כך שמתקיים <math>g(x)>\epsilon</math> לכל <math>x\in (0,1)</math>. הוכח שהפונקציה <math>\frac{1}{g}</math> רציפה במ"ש בקטע (0,1).
+תהי <math>g</math> פונקציה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . נניח שקיים <math>\varepsilon>0</math> כך שמתקיים <math>g(x)>\varepsilon</math> לכל <math>x\in(0,1)</math> . הוכח שהפונקציה <math>\dfrac1g</math> רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> .
-===הוכחה===
+;הוכחה
-לפי הנתון, לכל אלפא גדול מאפס קיים דלתא גדול מאפס כך שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>|g(x_1)-g(x_2)|<\alpha\epsilon^2</math>.
+לפי הנתון, לכל <math>\alpha>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2</math> .
-לכן, מתקיים ש<math>|\frac{1}{g(x_1)}-\frac{1}{g(x_2)}|=|\frac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)g(x_2)}|<\frac{\alpha\epsilon^2}{\epsilon^2}=\alpha</math>
+לכן, מתקיים <math>\left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha</math>
-כפי שרצינו.
+כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
 ==שאלה 6==
-תהי f פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש <math>f(0)=f'(0)=...=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math>. עוד נניח שלכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f'(x)\neq 0</math>. הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math>
+תהי <math>f</math> פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- <math>f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math> . עוד נניח שלכל <math>x\ne 0</math> מתקיים <math>f'(x)\ne 0</math> . הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math> .
-===הוכחה===
+;הוכחה
-מכיוון שהפונקציה ו4 נגזרותיה מתאפסות באפס, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה אפס שווה זהותית לאפס. השארית היא מהצורה
+מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה <math>x=0</math> שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה <math>\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math> .
-<math>\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math>.
-מכיוון ש<math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של אפס בה <math>f^{(5)}>0</math>. לכן בסביבה ימנית של אפס מתקיים <math>f(x)=\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math>.
+מכיון ש- <math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה <math>f^{(5)}>0</math> . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים <math>f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math> .
-נותר להוכיח ש<math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה ש <math>f(x)\leq 0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור איזה <math>x>0</math>. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מאפס בסתירה.
+נותר להוכיח כי <math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי <math>f(x)\le0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור <math>x>0</math> כלשהוא. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.