קמירות: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה גדולה או שוו...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת | תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> . אם קיימת סביבת <math>a</math> עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה <math>a</math> , אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מעלה''' ב- <math>a</math> . | ||
באופן דומה, אם קיימת | באופן דומה, אם קיימת סביבת <math>a</math> עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה <math>a</math> , אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מטה''' ב- <math>a</math> . | ||
| שורה 8: | שורה 8: | ||
==תנאי מספיק== | ==תנאי מספיק== | ||
אם f גזירה פעמיים ברציפות בנקודה a, והנגזרת | אם <math>f</math> גזירה פעמיים ברציפות בנקודה <math>a</math> , והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- <math>a</math> . אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע. | ||
;הוכחה | |||
לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה: | |||
:<math>f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math> | |||
מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב-a קיימת | מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- <math>a</math> קיימת סביבת <math>a</math> עבורה לכל <math>c</math> מתקיים <math>f''(c)>0</math> . באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית. | ||
גרסה אחרונה מ־06:18, 14 בפברואר 2017
הגדרה
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית הגזירה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] . אם קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] .
באופן דומה, אם קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] .
(ראו גם נקודת פיתול.)
תנאי מספיק
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה פעמיים ברציפות בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] . אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.
- הוכחה
לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:
- [math]\displaystyle{ f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math]
מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f''(c)\gt 0 }[/math] . באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית.