שינויים
=הגדרות בסיסיות של טורים=
באופן בלתי פורמלי, טור הינו הנו '''סכום אינסופי''' של מספרים. נשאלת השאלה, האם סכום אינסופי של מספרים חיוביים עשוי להיות קטן ממספר סופי?
נענת התשובה - כן. לדוגמא, ניקח עוגה (או פאי). נחלק חצי מהעוגה לתלמיד המצטיין, חצי ממה שנשאר (רבע) ניתן לתלמיד הבא אחריו. חצי ממה שנשאר (שמינית) ניתן לתלמיד הבא אחריו. אחד חלקי שש עשרה יקבל התלמיד הבא וכן הלאה.
כמובן שלא נוכל לחלק יותר מאשר '''עוגה אחת''' ממנה התחלנו. לכן, אינטואיטיבית, <math>\frac{1}{2}dfrac12+\frac{1}{4}dfrac14+\frac{1}{8}dfrac18+... \leq 1cdots\le1</math>
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' <math>S^{a_n}</math> של סדרה <math>a_n</math> כלשהי להיות <math>S^{a_n}_N = a_1+a_2\cdots+...a_N</math>.
כלומר,
וכן הלאה.
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
*אומרים כי טור הסדרה <math>a_n</math> '''מתכנס''' אם סדרת הסכומים החלקיים <math>S^{a_n}</math> מתכנסתלגבול סופי. (במובן הגדרת הגבול של סדרות, כמובן) **במקרה זה אומרים כי סכום הטור שווה לגבול סדרת הסכומים החלקיים. כלומר <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N^{a_n}</math> .
*אומרים כי טור הסדרה <math>a_n</math> '''מתכנס בהחלט''' אם טור הסדרה <math>|a_n|</math> מתכנס.
*אומרים כי טור '''מתכנס בתנאי''' אם הוא מתכנס, אך אינו מתכנס בהחלט.
מסמנים את טור הסדרה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> .
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא חשובה.'''</font>
נחשב את סכום הטור <font sizemath>\displaystyle\sum_{n=4 color=#a7adcd>'''דוגמא חשובה.''' 0}^\infty x^n</fontmath>
:<math>\begin{align}S_1&=x^0=1\\S_2&=x^0+x^1=1+x\\\vdots\\S_N&=1+x+x^2+\cdots+x^{N-1}\end{align}</math>
כעת, לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית, מקבלים
זה תרגיל בסדרות, וקל לראות כי::<math>S_N=1+x+x^2+...+x^{N-1}</math>
:אם <math>|x|<1</math> הסדרה מתכנסת ומקבלים <math>\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>
::אם <math>S_Nx=\frac{1-x^N}{1-x}</math>הסדרה מתבדרת וכך גם הטור
:אם <math>|x|>1</math> הסדרת אינה חסומה, ולכן מתבדרת ולכן הטור מתבדר.
'''שימו לב:''' אם נתחיל את הספירה ממקום אחר, נקבל סכום אחר. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}</math> . אם כך, '''מספר סופי של אברים לא משפיע על התכנסות הטור, אך עשוי להשפיע על סכומו'''.
באופן כללי, הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha>1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.
==הקשר בין התכנסות טור לבין גבול הסדרה של הטור==
אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי בהכרח <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0</math>
'''שימו לב:הכיוון ההפוך אינו נכון בהכרח!!!!''' אם נתחיל את הספירה ממקום אחר, נקבל סכום אחר. <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}</math>. אם כך, '''מספר סופי של איברים לא משפיע על התכנסות הטור, אך עשוי להשפיע על סכומו'''.
לדוגמא, <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n=0</math> ואילו הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math> אינו מתכנס.
==טורים טלסקופיים==
כפי שטלסקופ ארוך מאד (או אנטנה של רדיו) מתקפלים אל תוך עצמם (כל חתיכה נכנסת בקודמה), כך לעתים סכום של מספרים מתבטל ברובו ומשאיר רק מספר קטן של מחוברים. אם תרצו, זהו טור מטריושקה.
לדוגמא, קל לוודא כי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^{10}\frac1n-\frac1{n+1}=\frac11-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots=\frac11-\frac1{11}</math>
;פתרון.נפרק את הביטוי לשברים חלקיים, על-מנת לקבל <math>\dfrac1{(n+2)(n+4)}=\dfrac1{2(n+2)}-\dfrac1{2(n+4)}</math> על-ידי התבוננות במספר האיברים הראשונים של הטור, אנו מנחשים כי סדרת הסכומים החלקיים מקיימת את הנוסחא :<math>S_N=טורים טלסקופיים\dfrac16+\dfrac18-\dfrac1{2n+6}-\dfrac1{2n+8}</math> את נוסחא זו קל להוכיח באינדוקציה. אם כך, סכום הטור - הלא הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים - שווה <math>\lim\limits_{N\to\infty}S_N=\dfrac16+\dfrac18=\dfrac7{24}</math> <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> קבע אם הטור הבא מתכנס:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)</math> ;פתרון.נביט בסדרת הסכומים החלקיים:<math>\begin{align}S_N&=\ln\left(\dfrac21\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{N+1}{N}\right)\\S_N&=\ln(2)-\ln(1)+\ln(3)-\ln(2)+\cdots+\ln(N+1)-\ln(N)\\&=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1)\end{align}</math> ולכן סדרת הסכומים החלקיים שואפת לאינסוף והטור אינו מתכנס.
