שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
*<math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math>
;פתרון.
[[המספר e#דוגמאות|נשים לב]] כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>
נשים לב כי '''שני שליש''' מאיברי המכפלה ולכן <math>1\cdot 2\cdot 3 lim\cdots limits_{n</math> גדולים מהמספר <math>\fracto\infty}\dfrac{n^2}{3\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math>. נובע מכך כי:
ולכן הטור חבר של <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> ולכן מתכנס.
::<math>(n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}</math>
;פתרון ישן
נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאברי המכפלה <math>1\cdot2\cdot3\cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math> .
ולכןנקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- <math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac23n</math> כאלה נקבל ש-
::<math>n!=1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{1n}{3}\sqrt[n]{right\rfloor\cdot\left(n!)^2}}\leq left\lfloor\frac{1n}{3}\sqrt[right\rfloor+1\right)\cdots n]{(\ge1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3})^{\right\rfloor\cdot\left(\frac{4nn}{3}}}\right)^{\frac23n}</math>
אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי '''מבחן ההשוואה הגבולי'''נניח <math>n>2</math> , קל לבדוק את <math>n=1,2</math>)
:נעלה בריבוע ונקבל כי:<math>(n!)^2\sumge\left(\frac{1n}{3}\right)^\frac{4n}{3}</math>ולכן:<math>\dfrac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}\le\dfrac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac{4n}{3}}}}</math>
::<math>\sum\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}</math> (ידוע אבל קל לראות כי טור זה מתכנסהטורים הבאים חברים (לפי '''מבחן ההשוואה הגבולי''')
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}</math>
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\frac43}</math> (ידוע כי טור זה מתכנס)
וביחד הטור '''מתכנס''' לפי '''מבחן ההשוואה הראשון'''.
226
עריכות