88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־12:15, 16 בפברואר 2017

תתי-סדרות

תת-סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדויק:

הגדרה.

תהי סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים [math]\displaystyle{ n_k }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ n_1\lt n_2\lt n_3\lt \cdots }[/math]). אזי [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] הנה תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] .

הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין [math]\displaystyle{ n_k }[/math] לבין [math]\displaystyle{ n_{k+1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math]).

דוגמא. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] ובסדרת המספרים הטבעיים [math]\displaystyle{ n_k=2k }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 }[/math] הנה תת-סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,\ldots }[/math] אזי תת-סדרה אחת שלה תהא [math]\displaystyle{ a_1,a_3,a_{15},a_{85},\ldots }[/math]

הגדרה.

תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי [math]\displaystyle{ L }[/math] נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k}\to L }[/math] .

משפט.

תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי [math]\displaystyle{ L }[/math] גבול חלקי שלה אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ N\in\N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \varepsilon }[/math] .

במילים, קיימים אינסוף אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

משפט.

סדרה מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] אם"ם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] .

מסקנה. אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ K }[/math] וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ K }[/math] אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

משפט בולצאנו ויירשטראס.

לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.

הוכחה. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)

משפט.

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] . אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] .

הוכחה.

לפי הגדרת הגבול, לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)

תרגיל.

מצא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right) }[/math]

פתרון

נביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים [math]\displaystyle{ a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5 }[/math]

באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- [math]\displaystyle{ -5 }[/math] . האם [math]\displaystyle{ \pm5 }[/math] הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?

נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים או אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- [math]\displaystyle{ \pm5 }[/math] כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.

דוגמא.

לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:

[math]\displaystyle{ 1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots }[/math]

תרגיל.

מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.

פתרון

נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים [math]\displaystyle{ \Q }[/math] . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.

בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 תת-סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדויק:
-<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
+;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
-תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הנה תת-סדרה של <math>a_n</math> .
+תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר <math>n_1<n_2<n_3<\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הנה תת-סדרה של <math>a_n</math> .
-הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין <math>n_i</math> לבין <math>n_{i+1}</math> לכל i).
+הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין <math>n_k</math> לבין <math>n_{k+1}</math> לכל <math>k</math>).
@@ שורה 15: / שורה 15: @@
-<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
+;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
 תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה <math>a_{n_k}\to L</math> .
-'''משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|<\epsilon</math> .
+;משפט.
+תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\varepsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .
 במילים, '''קיימים''' אינסוף אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).
-'''משפט.''' סדרה מתכנסת לגבול <math>L</math> אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> .
+;משפט.
+סדרה מתכנסת לגבול <math>L</math> אם"ם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> .
 '''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול <math>K</math> וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K</math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.
@@ שורה 28: / שורה 30: @@
+;משפט בולצאנו ויירשטראס.
-'''משפט בולצאנו ויירשטראס.''' לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.
+לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.
 '''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)
-'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> .
+;משפט.
+תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> .
-'''הוכחה.''' לפי הגדרת הגבול, לכל <math>\epsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\epsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\epsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)
+;הוכחה.
+לפי הגדרת הגבול, לכל <math>\varepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)
-<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
+;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
+מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)</math>
-מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n(5-\frac{4}{2^n})</math>
 ;פתרון
+נביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5</math>
-נביט בתת הסדרה המורכבת מהאיברים הזוגיים <math>a_{2k}=(5-\frac{4}{2^{2k}}\to5-0=5</math>
+באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?
-באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם חמש ומינוס חמש הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?
 נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.
-<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font>
+;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
 לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:
+:<math>1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots</math>
-:<math>1,1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots</math>
-<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
+;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
 מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.
 ;פתרון
 נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\Q</math> . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.
 בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.