הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1"
(←2) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(11 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]] | ||
+ | [[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]] | ||
+ | |||
==1== | ==1== | ||
+ | <math>L</math> הנו גבול הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> . | ||
− | L | + | <math>L</math> '''אינו''' גבול הסדרה <math>a_n</math> אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N</math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\varepsilon</math> . |
+ | ==2== | ||
+ | משיעורי הבית | ||
− | + | ==3== | |
+ | משיעורי הבית | ||
− | ==2== | + | ==4== |
+ | כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן | ||
+ | :<math>a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math> | ||
+ | ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת. | ||
+ | |||
+ | כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע <math>1</math> ולכן זהו גבולה. | ||
+ | |||
+ | כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה: | ||
+ | |||
+ | נסמן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן: | ||
+ | :<math>L^2=L</math> | ||
+ | כלומר <math>L=1</math> או <math>L=0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן <math>L=0</math> . | ||
+ | |||
+ | באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה. | ||
+ | |||
+ | ==5== | ||
משיעורי הבית | משיעורי הבית | ||
+ | |||
+ | ==6== | ||
+ | |||
+ | ===א=== | ||
+ | חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0 | ||
+ | |||
+ | ===ב=== | ||
+ | <math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9</math> | ||
+ | |||
+ | ===ג=== | ||
+ | <math>L=\frac{L^2}{2}+\frac12</math> ולכן <math>L=1</math> | ||
+ | |||
+ | ===ד=== | ||
+ | <math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math> | ||
+ | |||
+ | ===ה=== | ||
+ | לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון) | ||
+ | |||
+ | לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: | ||
+ | |||
+ | <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math> |
גרסה אחרונה מ־05:24, 19 ביוני 2017
1
הנו גבול הסדרה אם לכל קיים מקום בסדרה כך שלכל מתקיים .
אינו גבול הסדרה אם קיים כך שלכל מקום בסדרה קיים כך ש- .
2
משיעורי הבית
3
משיעורי הבית
4
כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר הסדרה מונוטונית עולה, כאשר קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר הסדרה מונוטונית יורדת.
כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע ולכן זהו גבולה.
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
נסמן ולכן ולכן:
כלומר או . כיון שאנו עוסקים במקרה בו והסדרה מונוטונית יורדת, ולכן .
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.
5
משיעורי הבית
6
א
חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0
ב
ג
ולכן
ד
ה
לפי משפט אם הגבול קיים, אזי מתקיים (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: