תרגול 13 תשעז

איזומורפיזמים בין קס"חים

תרגיל

האם [math]\displaystyle{ (\mathbb{R} ,\leq ) \cong (\mathbb{R} ^+,\leq ) }[/math]?

פתרון

כן. נוכל להגדיר [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^+ }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math], והיא כמובן חח"ע ועל ושומרת סדר.

תרגיל

תהיינה [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math] קס"ח כך ש [math]\displaystyle{ A\cong B\land B\cong C }[/math]. הוכח או הפרך: [math]\displaystyle{ A\cong C }[/math].

פתרון

הוכחה: יש פונקציות חח"ע, על ושומרות סדר [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C }[/math], ההרכבה שלהן [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] היא חח"ע ועל (משפט) והיא גם שומרת סדר.

עוצמות

בעבר ראינו את התרגיל הבא: תהא [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math] קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס [math]\displaystyle{ \sim \subseteq P(A)\times P(A) }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ C\sim D\iff C\cap B=D\cap B }[/math]. ראינו שזהו יחס שקילות ונדרשנו למצוא את [math]\displaystyle{ |P(A)/\sim | }[/math]. וראינו: [math]\displaystyle{ |P(A)/\sim |=|P(B)|=2^{|B|} }[/math]. נשים לב שמה שעשינו אז היה בעצם להראו שיש פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצות, והיא [math]\displaystyle{ f:P(B) \rightarrow P(A)/\sim }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ f(C)=[C] }[/math]. היא חח"ע כי לכל שתי קבוצות שונות מ-[math]\displaystyle{ B }[/math] יש מחלקות שקילות שונות כי הן אינן שקולות (החיתוך שלהן עם [math]\displaystyle{ B }[/math] זה הן עצמן, והן שונות). היא על, כי כפי שראינו לכל [math]\displaystyle{ [C]\in P(A)/\sim }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ C\cap B\sim C\land C\cap B\in B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ C\cap B }[/math] היא המקור. לכן יש להן אותה עוצמה.

הכנה למבחן

תרגיל

תהיינה [math]\displaystyle{ f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] פונקציות. נאמר ש[math]\displaystyle{ f }[/math] מתאימה ל[math]\displaystyle{ g }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ x_1\in \mathbb{R} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ x_2\in \mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x_1)\leq g(x_2) }[/math]. הוכח או הפרך:

א. אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מתאימה ל[math]\displaystyle{ g }[/math] אז גם [math]\displaystyle{ g }[/math] מתאימה ל[math]\displaystyle{ f }[/math].

ב. קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] המתאימה לכל פונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math].

ג. קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] שכל פונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] מתאימה לה.

ד. האם זהו יחס סדר חלקי?

פתרון

א. לא נכון. למשל ניקח שתי פונקציות קבועות שונות.

ב. לא. נניח בשלילה שיש [math]\displaystyle{ f }[/math] כזו. אז היא מתאימה לכל פונקציה קבועה [math]\displaystyle{ f(x)=a }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ x_1\in \mathbb {R} }[/math] צריך להתקיים [math]\displaystyle{ f(x_1)\leq a,\forall a\in \mathbb {R} }[/math], וזה לא יכול להיות.

ג. נכון, למשל [math]\displaystyle{ e^x }[/math]. כי תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] פונקציה ויהי [math]\displaystyle{ x_1\in \mathbb {R} }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ f(x_1)\leq e^{f(x_1)} }[/math].

ד. לא הפונקציות [math]\displaystyle{ \sin (x),\cos (x) }[/math] שונות ומאימות אחת לשניה. כלומר זה יחס שאיננו אנטי סימטרי.