הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 8 תשעז"
(←תכונות של יחסים על קבוצה) |
(←יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
הגדרה: תהי קבוצה A. '''יחס הזהות''' הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש: <math>I_A=R=\{(a,a):a\in A\}</math>. | הגדרה: תהי קבוצה A. '''יחס הזהות''' הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש: <math>I_A=R=\{(a,a):a\in A\}</math>. | ||
− | הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> ''' | + | הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> '''יחס הכפל''' הוא היחס: <math>RS=\{(a,c)\in A\times C | \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\}</math> |
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם: | יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם: | ||
− | א. <math> | + | א. <math>RR^{-1}=I_A</math> |
− | ב. <math> | + | ב. <math>R^{-1}R=I_B</math> |
==תכונות של יחסים על קבוצה== | ==תכונות של יחסים על קבוצה== |
גרסה מ־16:10, 25 ביולי 2017
תוכן עניינים
יחסים
המכפלה הקרטזית
הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - . ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים והאיבר הבא הינו זוג חוקי .
ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.
דוגמא: ו אזי מתקיים
תרגיל
הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים
פתרון
יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים
הגדרה: יהיו A,B קבוצות, אזי R יקרא יחס (בין A ל -B). הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל B דוגמא: ונביט בתת הקבוצה הבאה: . מה מיוחד בזוגות אלה?
זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש . (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")
הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה היא יחס. גם היא יחס. וגם הוא יחס.
סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb, או . (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט .
דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים כך ש אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.
הגדרה: בהינתן יחס היחס ההפוך הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:
הגדרה: תהי קבוצה A. יחס הזהות הוא כך ש: .
הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו יחס הכפל הוא היחס:
תרגיל
יהיו . נגדיר את היחס: . בדוק האם:
א.
ב.
תכונות של יחסים על קבוצה
הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו
תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי
- R נקרא רפלקסיבי אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים )
- R נקרא סימטרי אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים )
- R נקרא טרנזיטיבי אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים )
- R נקרא אנטי סימטרי (חלש) אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים ובאופן שקול: )
דוגמאות:
- יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
- יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי
- יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
- יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
- יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
- יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
- יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי
הערה: יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא יכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמא: ואז R גם וגם, S לא ולא.