הבדלים בין גרסאות בדף "דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי"
מתוך Math-Wiki
(דף חדש: ==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון== '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\…) |
(←תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | == | + | ===תרגיל 1=== |
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת. | '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת. | ||
שורה 12: | שורה 12: | ||
<math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math> | <math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===תרגיל 2=== | ||
+ | '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|</math>, עבור <math>0<p<1</math> הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. | ||
+ | |||
+ | דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1|</math>. נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | כעת, | ||
+ | |||
+ | <math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math> | ||
+ | |||
+ | <math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\leq</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\leq p^{m-2}d+...+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...+1)=p^{n-1}d(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \leq p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 </math> (לפי מה שהראנו) | ||
+ | |||
+ | מכיוון ש<math>p^n\rightarrow 0</math> עבור p<1. |
גרסה מ־12:34, 8 בנובמבר 2010
תרגיל 1
תרגיל: תהי סדרה כך ש . הוכח ש מתכנסת.
פתרון: נוכיח ש סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
(לפי הנתון)
תרגיל 2
תרגיל: תהי סדרה כך ש , עבור הוכח ש מתכנסת.
פתרון: נוכיח ש סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
דבר ראשון, נשים לב ש- . נסמן ולכן סה"כ
כעת,
(לפי מה שהראנו)
מכיוון ש עבור p<1.