הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 6 תשעז"
(←פתרון) |
(←תרגיל) |
||
שורה 38: | שורה 38: | ||
לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>A_n=\{k\in \mathbb{N}|2\leq k\leq 2n-1\}</math> ונגדיר <math>B_n=A_{n+1}\smallsetminus A_n</math>. | לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>A_n=\{k\in \mathbb{N}|2\leq k\leq 2n-1\}</math> ונגדיר <math>B_n=A_{n+1}\smallsetminus A_n</math>. | ||
− | א. מצאו את <math>\ | + | א. מצאו את <math>\bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>. |
− | ב. נגדיר <math>D_n=\mathbb{N}\smallsetminus B_n</math>. מצאו את <math>\ | + | ב. נגדיר <math>D_n=\mathbb{N}\smallsetminus B_n</math>. מצאו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} D_n</math>. |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
שורה 46: | שורה 46: | ||
א. התשובה: <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math>. הוכחה: | א. התשובה: <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math>. הוכחה: | ||
− | <math>\ | + | <math>\bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל תת קבוצות של הטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>. |
− | <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \ | + | <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2\leq k\leq 2n+1\}\smallsetminus \{2\leq k\leq 2n-1\}=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}}</math>. |
− | ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\ | + | ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>. |
==קבוצת החזקה== | ==קבוצת החזקה== |
גרסה מ־19:31, 25 בנובמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
המשך קבוצות
משלים
הגדרה: תהי קבוצה , ונביט בתת קבוצה שלה . ניתן להגדיר את המשלים של כאוסף האיברים ב- שאינם ב- (כלומר ההפרש ), המסומן . לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):
הערה: באופן כללי מתקיים
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
ומחילופיות "וגם" ו"או":
תרגיל
לכל נגדיר ונגדיר .
א. מצאו את .
ב. נגדיר . מצאו את .
פתרון
א. התשובה: . הוכחה:
: הכל תת קבוצות של הטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-.
: יהי נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-. לכן אם זוגי הוא נמצא ב- ואם אי-זוגי אז .
ב. נתייחס ל- כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:.
קבוצת החזקה
הגדרה: תהי קבוצה . נגדיר את קבוצת החזקה של בתור אוסף כל תת הקבוצות של . נסמן .
דוגמה: נבחר אזי .
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
תרגיל
הוכיחו או הפריכו:
א.
ב.
פתרון
א. הוכחה:
ב. הפרכה: ניקח . אז , אבל לא ל-.
למעשה הוכיחו כי אם ורק אם או .
תרגיל ממבחן
תהינה קבוצות. הוכיחו או הפריכו:
א. אם אזי
ב. אם אזי
ג. אם אזי
פתרון
א. הפרכה: . אזי ברור ש- איננה מוכלת בחיתוך אבל .
ב. נתון שלכל מתקיים . אזי
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון ניתן להסיק בקלות ש-, כפי שרצינו.
דרך נוספת: נגדיר את להיות הקבוצה האוניברסאלית ואז צריך להוכיח כי וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה השייכת לחיתוך . קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן . מכיוון ש- אינה ריקה קיים בה איבר וקל לראות ש- ולכן מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.