שינויים

==המשך יחסי שקילות- תרגילים נוספים==

הגדרה: ===תרגיל===תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>B\{A_i\}_{i\in I}subseteq A</math>כך ש:* קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>\forall isim \in I: A_i subseteq P(A)\neq \emptyset </math>* <math>\cup _{i\in I} A_i =times P(A )</math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה * הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (ע"י <math>C\forall isim D\not= j\in I : A_iiff C\cap A_j B= D\phi cap B</math>). הוכיחו:

יהא R יחס שקילות על ב. לכל <math>X\subseteq A אזי</math> קיימת <math>C\subseteq B</math> כך ש <math>[X]_R=[C]_R</math>.

# לכל ג. אם <math>xC,D\in Asubseteq B</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות שונות, אז <math>\bar{x}=[xC]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math># ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ neq [xD]_R | x\in A\} </math>.

למשל בדוגמא משבוע שעבר על השלמים עם היחס סימטריות: נניח <math>x~yC\iff 3|x-ysim D</math>, מחלקת השקילות של 0 היא אזי <math>[0]_RC\cap B=D\{ 0 cap B\pm 3 iff D\pm 6 cap B=C\dots \}cap B</math> וקבוצת המנה היא, ולכן <math>D\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}sim C</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי# לכל ב. יהי <math>x,yX\in subseteq A</math> מתקיים נשים לב שמתקיים <math>(X\cap B)\cap B=X\cap B</math> ולכן <math>[xX]_R=[yX\cap B]_R</math> או , ובנוסף מתקיים <math>[x]X\cap [y] =B\phi subseteq B</math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)# ולכן נוכל לבחור <math>AC=X\bigcup_{[x]\in A/R}[x]cap B</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A.

מסקנה:===שאלה ממבחן===תהא א. תהי <math>A </math> קבוצה אזי יש התאמה {לא ריקה ותהי <math>R\{R_i\}_{i\in I}</math> יחס משפחה של יחסי שקילות על <math>A } </math>. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\leftrightarrowcap_{i\in I}R_i</math> {חלוקות של הינו יחס שקילויות על <math>A}</math>.

חידודב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים n|(כמו שיוויוןx-y) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת\}</math>.מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?

===תרגיל===תהא סימטריות: נניח <math>B(x,y)\subseteq Ain R</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס לכן <math>\sim forall i\subseteq Pin I:(Ax,y)\times P(A)in R_i</math> ע"י ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>C\sim Dforall i\iff Cin I:(y,x)\cap B=Din R_i</math> ולכן <math>(y,x)\cap Bin R</math>.

א. הוכח שזהו טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in \mathbb R</math> אזי <math>\forall i\in I:(x,y),(y,z)\in R_i</math>, וכיון שהוא יחס שקילות.אז נובע <math>\forall i\in I:(x,z)\in R_i</math>, ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל <math>(x,z)\in R</math>

ב. מצא את <math>|P(A)/\sim |R_1</math>הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

====פיתרון====א. רפלקסיביות: כמובן ש- <math>\forall C\subseteq A:C\cap B=C\cap BR_2</math>הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, ולכן <math>C\sim C</math>שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

סימטריות: נניח <math>C\sim DR</math> אזי הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן <math>C\cap B=D\cap B\iff D\cap B=C\cap BR</math>הינו אוסף הזוגות מהצורה <math>(q, ולכן q)</math> עבור <math>D\sim Cq</math>מספר שלם. (יחס השיוויון).

ב. פיתרון: <math>|P(A)/\sim |=|P(B)|=2^mathbb{|B|Z}/R_1</math>הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים. הוכחה:

מחד, לכל מחלקת שקילות <math>[C]\in P(A)/\sim</math> נוכל לבחור תת קבוצה של <math>B</math> כנציג: כי <math>\forall C\in P(A):[C]=\mathbb{ D\subseteq A|C\cap B=D\cap B\Z}/R_2</math>מכיל שתי קבוצות, וכיון ש- <math>קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (C\cap Bהרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח)\cap B=C\cap B</math> נקבל <math>[C]=[C\cap B]</math>, ו-<math>C\cap B\subseteq B</math> הוא הנציג שחיפשנו.

מצד שני, כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז <math>C\cap B\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]</math>. ובסה"כ קיבלנו שכל איבר ב- <math>P(A)/\sim</math> מוגדר ע"י תת קבוצה של <math>B</math> ושאין חזרה כי כל שתי תתי קבוצות שונות של <math>B</math> מגדירות מחלקת שקילות שונה. לכן מספר האיברים בקבוצת המנה הוא כמספר תתי הקבוצות של <math>B</math>. ===שאלה ממבחן===תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\mathbb{R_i\Z}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על Aאוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד. ====פתרון====רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>. סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>. טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in \mathbb R</math> אזי <math>\forall i\in I:(x,y),(y,z)\in R_i</math>, וכיון שהוא יחס שקילות אז נובע <math>\forall i\in I:(x,z)\in R_i</math>, ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל <math>(x,z)\in R</math>