הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 12 תשעז"
שורה 34: | שורה 34: | ||
תהא <math>A</math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה <math>\mathrm{id}_A</math>. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל. | תהא <math>A</math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה <math>\mathrm{id}_A</math>. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל. | ||
− | דוגמאות | + | ===דוגמאות=== |
− | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> | + | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> חח"ע ואינה על. |
− | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> | + | *<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> אינה חח"ע ואינה על. |
+ | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> לא מוגדרת כי <math>f(1)=?</math>. | ||
+ | *<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל. | ||
+ | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל. | ||
+ | * תהא פונקציה <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to \mathrm{im}(f) </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של <math>g</math> להיות התמונה של <math>f</math>). | ||
+ | * תהא <math>A\subseteq B</math> אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (אם <math>A=B</math> זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע. | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | נסמן ב-<math>\mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם. | ||
+ | |||
+ | נתבונן בפונקציה <math>f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> המוגדרת ע"י <math>f(g)=(g(1),g(2))</math> האם היא חח"ע? האם היא על? | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים. | ||
+ | על: לכל זוג סדור <math>(n,m)</math> הפונקציה ששולחת את 1 ל-<math>n</math>, ואת 2 ל-<math>m</math>, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה). | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | תהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר פונקציה <math>f:P(A)\rightarrow P(P(A))</math> ע"י: <math>f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\}</math> האם היא חח"ע? על? | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | חח"ע: כן. תהיינה <math>X,Y\in P(A), X\neq Y</math> אם <math>X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X)</math> אזי <math>X\in f(X)\smallsetminus f(Y)</math>. אחרת <math>Y\in f(Y)\smallsetminus f(X)</math>. | ||
+ | |||
+ | על: לא. למשל לקבוצה <math>\{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}</math> אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה. | ||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== |
גרסה מ־19:25, 29 בדצמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
פונקציות
הגדרה: יהיו קבוצות ו- יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי .
דוגמה:
- אזי התחום הוא והתמונה הינה .
הגדרה:
- יחס מ- ל- נקרא על אם כלומר .
- יחס מ- ל- נקרא מלא אם כלומר
- יחס נקרא חד ערכי אם כלומר אין איבר מ- שמתאים לשני איברים שונים מ-.
הגדרה:
יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה . ובאופן כללי . ( נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו- נקרא הטווח של הפונקציה.)
פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
חח"ע אמ"מ אמ"מ .
הגדרה:
תהא קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה המקיימת . נהוג לסמנה . פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
דוגמאות
- כאשר חח"ע ואינה על.
- כאשר אינה חח"ע ואינה על.
- כאשר לא מוגדרת כי .
- כאשר חח"ע ועל.
- כאשר חח"ע ועל.
- תהא פונקציה אזי המוגדרת לכל לפי היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של להיות התמונה של ).
- תהא אזי הפונקציה המוגדרת לכל לפי נקראת פונקציה ההכלה (אם זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
תרגיל
נסמן ב- את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.
נתבונן בפונקציה המוגדרת ע"י האם היא חח"ע? האם היא על?
פתרון
לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים. על: לכל זוג סדור הפונקציה ששולחת את 1 ל-, ואת 2 ל-, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).
תרגיל
תהא קבוצה. נגדיר פונקציה ע"י: האם היא חח"ע? על?
פתרון
חח"ע: כן. תהיינה אם אזי . אחרת .
על: לא. למשל לקבוצה אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
תרגיל
יהיו ו- קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ- ל- הינה על אם"ם היא חח"ע.
הוכחה: נסמן . כאשר כל האיברים ב- שונים זה מזה וכנ"ל ב-.
נניח חח"ע אזי כיוון ש- ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן על.
נניח על. נניח בשלילה ש- אינה חח"ע אזי (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז אינה על, שזו סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם ו- קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
הרכבת פונקציות
הגדרה: יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של על היא פונקציה המוגדרת על ידי הכלל .
הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם חח"ע אזי חח"ע.
- אם על אזי על.
- מסקנה: אם חח"ע ועל אזי חח"ע ו- על.
פונקציות הפיכות
הערה: לכל פונקציה מתקיים וגם .
הגדרה: תהי פונקציה . פונקציה תיקרא הפונקציה ההופכית ל- אם וגם . במקרה זה נסמן את על ידי , ונאמר שהפונקציה היא הפיכה.
תרגיל (בהרצאה):
הוכיחו כי פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
הוכחה:
אם הפיכה, אזי וגם . מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש- חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם חח"ע ועל, אז נגדיר ע"י: עבור קיים (כי על) יחיד (כי חח"ע) כך ש- . נגדיר . תרגיל: בדקו כי היא ההופכית של .