הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 12 תשעז"
שורה 34: | שורה 34: | ||
תהא <math>A</math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה <math>\mathrm{id}_A</math>. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל. | תהא <math>A</math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה <math>\mathrm{id}_A</math>. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל. | ||
− | דוגמאות | + | ===דוגמאות=== |
− | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> | + | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> חח"ע ואינה על. |
− | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> | + | *<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> אינה חח"ע ואינה על. |
+ | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> לא מוגדרת כי <math>f(1)=?</math>. | ||
+ | *<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל. | ||
+ | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל. | ||
+ | * תהא פונקציה <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to \mathrm{im}(f) </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של <math>g</math> להיות התמונה של <math>f</math>). | ||
+ | * תהא <math>A\subseteq B</math> אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (אם <math>A=B</math> זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע. | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | נסמן ב-<math>\mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם. | ||
+ | |||
+ | נתבונן בפונקציה <math>f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> המוגדרת ע"י <math>f(g)=(g(1),g(2))</math> האם היא חח"ע? האם היא על? | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים. | ||
+ | על: לכל זוג סדור <math>(n,m)</math> הפונקציה ששולחת את 1 ל-<math>n</math>, ואת 2 ל-<math>m</math>, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה). | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | תהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר פונקציה <math>f:P(A)\rightarrow P(P(A))</math> ע"י: <math>f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\}</math> האם היא חח"ע? על? | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | חח"ע: כן. תהיינה <math>X,Y\in P(A), X\neq Y</math> אם <math>X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X)</math> אזי <math>X\in f(X)\smallsetminus f(Y)</math>. אחרת <math>Y\in f(Y)\smallsetminus f(X)</math>. | ||
+ | |||
+ | על: לא. למשל לקבוצה <math>\{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}</math> אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה. | ||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== |
גרסה מ־19:25, 29 בדצמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
פונקציות
הגדרה: יהיו קבוצות ו-
יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי .
דוגמה:
אזי התחום הוא
והתמונה הינה
.
הגדרה:
- יחס
מ-
ל-
נקרא על אם
כלומר
.
- יחס
מ-
ל-
נקרא מלא אם
כלומר
- יחס
נקרא חד ערכי אם
כלומר אין איבר מ-
שמתאים לשני איברים שונים מ-
.
הגדרה:
יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה .
ובאופן כללי
.
(
נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-
נקרא הטווח של הפונקציה.)
פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
חח"ע אמ"מ
אמ"מ
.
הגדרה:
תהא קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה
המקיימת
. נהוג לסמנה
. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
דוגמאות
כאשר
חח"ע ואינה על.
כאשר
אינה חח"ע ואינה על.
כאשר
לא מוגדרת כי
.
כאשר
חח"ע ועל.
כאשר
חח"ע ועל.
- תהא פונקציה
אזי
המוגדרת לכל
לפי
היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של
להיות התמונה של
).
- תהא
אזי הפונקציה
המוגדרת לכל
לפי
נקראת פונקציה ההכלה (אם
זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
תרגיל
נסמן ב- את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.
נתבונן בפונקציה המוגדרת ע"י
האם היא חח"ע? האם היא על?
פתרון
לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.
על: לכל זוג סדור הפונקציה ששולחת את 1 ל-
, ואת 2 ל-
, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).
תרגיל
תהא קבוצה. נגדיר פונקציה
ע"י:
האם היא חח"ע? על?
פתרון
חח"ע: כן. תהיינה אם
אזי
. אחרת
.
על: לא. למשל לקבוצה אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
תרגיל
יהיו ו-
קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-
ל-
הינה על אם"ם היא חח"ע.
הוכחה:
נסמן . כאשר כל האיברים ב-
שונים זה מזה וכנ"ל ב-
.
נניח חח"ע אזי
כיוון ש-
ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן
על.
נניח על. נניח בשלילה ש-
אינה חח"ע אזי
(כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז
אינה על, שזו סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם ו-
קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
הרכבת פונקציות
הגדרה:
יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של
על
היא פונקציה
המוגדרת על ידי הכלל
.
הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם
חח"ע אזי
חח"ע.
- אם
על אזי
על.
- מסקנה: אם
חח"ע ועל אזי
חח"ע ו-
על.
פונקציות הפיכות
הערה: לכל פונקציה מתקיים
וגם
.
הגדרה: תהי פונקציה
. פונקציה
תיקרא הפונקציה ההופכית ל-
אם
וגם
. במקרה זה נסמן את
על ידי
, ונאמר שהפונקציה
היא הפיכה.
תרגיל (בהרצאה):
הוכיחו כי פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
הוכחה:
אם הפיכה, אזי
וגם
. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-
חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם חח"ע ועל, אז נגדיר
ע"י: עבור
קיים (כי
על)
יחיד (כי
חח"ע) כך ש-
. נגדיר
. תרגיל: בדקו כי
היא ההופכית של
.