מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר

הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה

• משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
• בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
• לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
• כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.

נפילה חופשית

• גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה [math]\displaystyle{ g=9.82 }[/math].
• נסמן ב[math]\displaystyle{ y(t) }[/math] את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
• [math]\displaystyle{ v(t)=y'(t) }[/math] היא המהירות
• [math]\displaystyle{ a(t)=v'(t)=y''(t) }[/math] היא התאוצה.
• לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ a(t)=g }[/math], הרי התאוצה קבועה.

• [math]\displaystyle{ y''(t)=g }[/math]
• לכן [math]\displaystyle{ y'(t)=gt+c_1 }[/math]
• לכן [math]\displaystyle{ y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2 }[/math]

• כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
• נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן [math]\displaystyle{ y(0)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ c_2=0 }[/math]
• נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן [math]\displaystyle{ y'(0)=0 }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ c_2=0 }[/math].

ריבית דריבית

• נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה [math]\displaystyle{ y(t) }[/math].
• נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי [math]\displaystyle{ y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0) }[/math].
• אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
  • בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית [math]\displaystyle{ y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0) }[/math]
  • ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל [math]\displaystyle{ y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2}) }[/math]
  • סה"כ [math]\displaystyle{ y(1)=(1.01)^2\cdot y(0) }[/math]
• זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
• האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
• כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
  • [math]\displaystyle{ y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1) }[/math]
  • נעביר אגף ונחלק [math]\displaystyle{ \frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1) }[/math]
• אם נשאיף [math]\displaystyle{ t_2\to t_1 }[/math] נקבל כי [math]\displaystyle{ y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1) }[/math]
• כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית [math]\displaystyle{ y'=r\cdot y }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ r }[/math] היא הריבית השנתית.

המשוואה [math]\displaystyle{ y'=r\cdot y }[/math]

• בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
• מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
• כעת נשים לב כי:
• [math]\displaystyle{ y'-ry=0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ e^{-rt}(y'-ry)=0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ (e^{-rt}y)'=0 }[/math]
• כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה [math]\displaystyle{ e^{-rt}y=C }[/math]
• סה"כ [math]\displaystyle{ y=Ce^{rt} }[/math]

• על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
• שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.

סדר ומעלה

• משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
  • המשוואה [math]\displaystyle{ y''=g }[/math] היא משוואה מסדר שני.
  • המשוואה [math]\displaystyle{ y'=ry }[/math] היא משוואה מסדר ראשון.
• משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
  • המשוואה [math]\displaystyle{ (y''')^2+(y')^5=y+sin(t) }[/math] היא מסדר 3 ומעלה 2.

משוואות פרידות

• משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה [math]\displaystyle{ y'=f(y)g(x) }[/math].
• נהוג גם להחליף [math]\displaystyle{ y'=\frac{dy}{dx} }[/math] ולכן המשוואה תרשם כך [math]\displaystyle{ dy=f(y)g(x)dx }[/math].
• לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה [math]\displaystyle{ f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)} }[/math].

• משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
• ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
• [math]\displaystyle{ f(y)y'=g(x) }[/math]
• הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
• [math]\displaystyle{ \int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt }[/math]
• במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים [math]\displaystyle{ f(y)dy=g(x)dx }[/math], כל אחד לפי המשתנה שלו!

• לדוגמא נפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ y'=r\cdot y }[/math] כמשוואה פרידה.
• ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{y}dy=rdx }[/math].
• נשים לב כי הנחנו כאן כי [math]\displaystyle{ y=\neq 0 }[/math].
• כעת [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{y}dy=ln|y| }[/math].
• [math]\displaystyle{ \int rdx=rx }[/math].
• וביחד [math]\displaystyle{ ln|y|=rx+C }[/math].
• לכן [math]\displaystyle{ |y|=e^{rx+C}=e^C\cdot e^{rx} }[/math].
• לכן [math]\displaystyle{ y=\pm e^C\cdot e^{rx} }[/math].
• כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
• בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) [math]\displaystyle{ y=Ce^{rx} }[/math].

• שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
• בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
• בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.

הפיכת משוואה לפרידה

• נביט במשוואה [math]\displaystyle{ y'=(x+y)^2 }[/math] שאינה משוואה פרידה.
• נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
• נגדיר את הפונקציה [math]\displaystyle{ z=x+y }[/math].
• מתקיים כי [math]\displaystyle{ z'=1+y' }[/math] וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה [math]\displaystyle{ z'-1=z^2 }[/math].
• זוהי משוואה פרידה [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+z^2}dz=dx }[/math].
• נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי [math]\displaystyle{ \arctan(z)=x+C }[/math]
• ולכן [math]\displaystyle{ z=\tan(x+C) }[/math]
• ולכן [math]\displaystyle{ x+y=\tan(x+C) }[/math]
• [math]\displaystyle{ y=\tan(x+C)-x }[/math]

• שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו [math]\displaystyle{ x+C }[/math] מחוץ לתחום [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math].
• שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
• על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
• אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.

הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי

מד"ר הומוגנית

• פונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל [math]\displaystyle{ \lambda\neq 0 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y) }[/math].
• לדוגמא [math]\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y} }[/math] הומוגנית מסדר 1.

• טענה: פונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] היא מהצורה [math]\displaystyle{ \varphi(\frac{y}{x}) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] אם"ם היא הומוגנית מסדר [math]\displaystyle{ 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math].
• הוכחה:
  • אם [math]\displaystyle{ f(x,y)=\varphi(\frac{y}{x}) }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\varphi(\frac{\lambda y}{\lambda x})=\varphi(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y) }[/math].
  • אם [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y) }[/math], נציב [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{x} }[/math] ונקבל כי [math]\displaystyle{ f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=\varphi(\frac{y}{x}) }[/math].

• מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] הומוגנית מסדר [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
• נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה [math]\displaystyle{ z=\frac{y}{x} }[/math] באופן הבא:
  • ראשית נסמן [math]\displaystyle{ y'=\varphi(\frac{y}{x}) }[/math].
  • כעת נגזור את שני צידי המשוואה [math]\displaystyle{ zx=y }[/math], ונקבל כי [math]\displaystyle{ z'x+z=y' }[/math].
  • לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה [math]\displaystyle{ z'x+z=\varphi(z) }[/math].
  • נפריד את המשתנים [math]\displaystyle{ \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx }[/math].
  • ולכן [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\ln|x|+C }[/math].
  • נמצא את [math]\displaystyle{ z }[/math] ונציב בחזרה [math]\displaystyle{ y=zx }[/math].

• דוגמא - נפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ y'=\frac{x^2+y^2}{xy} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{z^2}{2}=ln|x|+C }[/math]
  • [math]\displaystyle{ z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C} }[/math]
  • ולבסוף [math]\displaystyle{ y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C} }[/math]

• דוגמא - נפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ xdy-\left(x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \tan(z)=\ln|x|+c }[/math]
  • [math]\displaystyle{ z=\arctan(ln|x|+C) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ y=x\cdot \arctan(ln|x|+C) }[/math]

מד"ר לינארית מסדר ראשון

• הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y=q(x) }[/math].
• מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y=0 }[/math].
• נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.

• נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y=0 }[/math] היא פרידה.
• נפריד את המשתנים ונקבל [math]\displaystyle{ \frac{1}{y}dy=-p(x)dx }[/math].
• נבצע אינטגרציה ונקבל כי [math]\displaystyle{ ln|y|=-\int p(x)dx +C }[/math].
• ולכן [math]\displaystyle{ y=C\cdot e^{-\int p(x)dx} }[/math]

• כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
• נציב במקום המקדם הקבוע [math]\displaystyle{ C }[/math] פונקציה [math]\displaystyle{ C(x) }[/math], וננחש שזה פתרון של המד"ר.
• כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה [math]\displaystyle{ C(x) }[/math] כך שהמשוואה תתקיים.

• כלומר, נציב [math]\displaystyle{ y=C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx} }[/math] במשוואה [math]\displaystyle{ y'+p(x)y=q(x) }[/math].
• נקבל [math]\displaystyle{ C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}-p(x)\cdot C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx} + p(x)\cdot C(x) \cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x) }[/math]
• משוואה זו מתקיימת אם"ם [math]\displaystyle{ C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x) }[/math].
• כלומר [math]\displaystyle{ C'(x)=q(x)\cdot e^{\int p(x)dx} }[/math].
• לכן נבחר [math]\displaystyle{ C(x)=\int \left[q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right]dx+C }[/math]

• סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y=q(x) }[/math] הוא:

[math]\displaystyle{ e^{-\int p(x)dx}\cdot\left(\int\left(q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right)+C\right) }[/math]

• דוגמא - המשוואה החביבה עלינו [math]\displaystyle{ y'=ry }[/math]:
  • ראשית, נשים לב כי [math]\displaystyle{ p(x)=-r }[/math] ו[math]\displaystyle{ q(x)=0 }[/math].
  • כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא [math]\displaystyle{ y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx} }[/math]

נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר

• גוף בעל מסה [math]\displaystyle{ m }[/math] נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע [math]\displaystyle{ m\cdot g }[/math] ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
• במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע [math]\displaystyle{ b\cdot v^2 }[/math], ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה [math]\displaystyle{ bv }[/math].

במהירות גבוהה

• לפי החוק השני של ניוטון [math]\displaystyle{ m\cdot a = gm -b\cdot v^2 }[/math].
• כלומר [math]\displaystyle{ v'=g-\frac{b}{m}v^2 }[/math]
• נבצע הפרדת משתנים [math]\displaystyle{ \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=dt }[/math]
• נבצע פירוק לשברים חלקיים:
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}=\frac{1}{(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\left(\frac{1}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}+\frac{1}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right) }[/math]
• ולכן [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{g\cdot m}}\ln\left|\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right| }[/math]
• מצד שני [math]\displaystyle{ \int dt=t+c }[/math]
• לכן [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}=Ce^{2\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}t} }[/math]
• נסדר קצת [math]\displaystyle{ v=\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{Ce^{2\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}t}}\right) }[/math]
• נשים לב שכאשר [math]\displaystyle{ t\to\infty }[/math] אנו מתכנסים למהירות הסופית [math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{g\cdot m}{b}} }[/math].
• אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.

במהירות נמוכה

• לפי החוק השני של ניוטון [math]\displaystyle{ m\cdot a = gm -b\cdot v }[/math].
• כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית [math]\displaystyle{ v'+\frac{b}{m}v=g }[/math].
• ולכן הפתרון הוא [math]\displaystyle{ v=e^{-\frac{b}{m}t}\cdot\left(\int ge^{\frac{b}{m}t}dt+C\right)=\frac{g\cdot m}{b}+Ce^{-\frac{b}{m}t} }[/math].
• וכאשר [math]\displaystyle{ t\to\infty }[/math] המהירות שואפת למהירות הסופית [math]\displaystyle{ \frac{g\cdot m}{b} }[/math].

משוואת ברנולי

• משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y = q(x)\cdot y^n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n\neq 0,1 }[/math].
• נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
• נניח כי [math]\displaystyle{ y\neq 0 }[/math], ונחלק ב[math]\displaystyle{ y^n }[/math].
• נקבל את המשוואה [math]\displaystyle{ \frac{y'}{y^n}+p(x)\cdot y^{1-n}=q(x) }[/math].
• נציב [math]\displaystyle{ z=y^{1-n} }[/math].
• נגזור [math]\displaystyle{ z'=(1-n)\frac{y'}{y^n} }[/math].
• נקבל משוואה לינארית [math]\displaystyle{ \frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z = q(x) }[/math].
• נפתור עבור [math]\displaystyle{ z }[/math] ונציב חזרה לקבל [math]\displaystyle{ y=z^{\frac{1}{1-n}} }[/math].

• דוגמא - נפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ y'-2xy=2x^3y^2 }[/math].
  • נציב [math]\displaystyle{ z=\frac{1}{y} }[/math].
  • נקבל [math]\displaystyle{ -z'-2xz=2x^3 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ z'+2xz=-2x^3 }[/math].
  • לכן [math]\displaystyle{ z=e^{-x^2}\cdot\left(\int \left(-2x^3e^{x^2}\right)dx+C\right) }[/math]
  • לכן [math]\displaystyle{ z=e^{-x^2}\cdot\left(e^{x^2}(1-x^2)+C\right) }[/math]
  • לכן [math]\displaystyle{ z=1-x^2+Ce^{-x^2} }[/math]
  • ולבסוף [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{1-x^2+Ce^{-x^2}} }[/math]

• דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
  • נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
  • [math]\displaystyle{ F=-bv-dv^2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ v'=-bv-dv^2 }[/math] (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
  • זוהי משוואת ברנולי, נציב [math]\displaystyle{ z=\frac{1}{v} }[/math].
  • לכן [math]\displaystyle{ z'-bz=d }[/math]
  • נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
    • [math]\displaystyle{ z=e^{bt}\cdot (de^{-bt}+C)=d+Ce^{bt} }[/math]
  • ולכן [math]\displaystyle{ v=\frac{1}{d+Ce^{bt}} }[/math]
  • כמובן שכאשר [math]\displaystyle{ t\to\infty }[/math] המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.

הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות

הקדמה - פונקציות בשני משתנים

• נגזרות חלקיות
  • דוגמא עבור [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+xy }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y }[/math] ו[math]\displaystyle{ f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=x }[/math]
• עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי [math]\displaystyle{ f_{xy}=f_{yx} }[/math] (כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
• כלל השרשרת: אם [math]\displaystyle{ g(t)=f(x(t),y(t)) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(t) }[/math]
• בפרט, עבור [math]\displaystyle{ g(x)=f(x,y(x)) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ g'(x)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot y' }[/math]

מד"ר מדוייקת

• מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה [math]\displaystyle{ U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0 }[/math], עבור [math]\displaystyle{ U(x,y) }[/math] דיפרנציאבילית.
• פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה [math]\displaystyle{ U(x,u)=C }[/math], כאשר C קבוע כלשהו.
• מד"ר מהצורה [math]\displaystyle{ Pdx+Qdy=0 }[/math] היא מדוייקת אם"ם [math]\displaystyle{ P_y=Q_x }[/math] ו[math]\displaystyle{ P,Q }[/math] בעלות נגזרות רציפות.

• הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
  • נגזור את הפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=U(x,y(x)) }[/math] לפי המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי [math]\displaystyle{ g'(x)=U_x(x,y)+U_y(x,y)y' }[/math]
  • לפי הנתון [math]\displaystyle{ U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0 }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ g'(x)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ g(x)=U(x,y)=C }[/math] פונקציה קבועה.

• הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
  • כיוון ראשון, נניח [math]\displaystyle{ Pdx+Qdy=0 }[/math] מדוייקת.
    • לכן קיימת [math]\displaystyle{ U(x,y) }[/math] דיפרנציאבילית כך ש [math]\displaystyle{ P=U_x,Q=U_y }[/math].
    • לכן [math]\displaystyle{ P_y=U_{xy}=U_{yx}=Q_x }[/math].
  • כיוון שני, נניח כי [math]\displaystyle{ P_y=Q_x }[/math].
    • אנו מחפשים [math]\displaystyle{ U(x,y) }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ P=U_x }[/math].
    • נעשה אינטגרציה לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] ונקבל כי [math]\displaystyle{ U(x,y)=\int P(x,y)dx + c(y) }[/math].
    • לכן ברור כי [math]\displaystyle{ U_x=P }[/math], השאלה היא אם ניתן לבחור [math]\displaystyle{ c(y) }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ U_y=Q }[/math].
    • כלומר אנו רוצים [math]\displaystyle{ c'(y)=Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx }[/math]
    • משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
    • אכן [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}\left(Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx\right)=Q_x-P_y=0 }[/math].

• דוגמא: נפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ (2x+6y)dx+(6x+3y^2)dy=0 }[/math].
  • ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: [math]\displaystyle{ P_y=Q_x=6 }[/math].
  • נבצע אינטגרציה [math]\displaystyle{ U=\int Pdx +c(y)= x^2+6xy +c(y) }[/math].
  • נגזור לפי y ונקבל כי [math]\displaystyle{ Q=U_y=6x+c'(y) }[/math].
  • לכן [math]\displaystyle{ c'(y)=Q-6x=3y^2 }[/math].
  • לכן [math]\displaystyle{ c(y)=y^3 }[/math] וסה"כ [math]\displaystyle{ U(x,y)=x^2+6xy+y^3 }[/math].
  • לכן הפתרון למד"ר הוא [math]\displaystyle{ x^2+6xy+y^3=C }[/math].

גורם אינטגרציה

• לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה גורם אינטגרציה) וכך נהפוך אותה למדוייקת.
• באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.

• תהי מד"ר [math]\displaystyle{ Pdx+Qdy=0 }[/math], ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה [math]\displaystyle{ \mu(x) }[/math] התלוי בx בלבד.
• כלומר [math]\displaystyle{ \mu\cdot Pdx+\mu\cdot Qdy=0 }[/math] מדוייקת.
• לכן [math]\displaystyle{ (\mu\cdot P)_y=(\mu\cdot Q)_x }[/math].
• כלומר [math]\displaystyle{ \mu\cdot P_y=\mu'\cdot Q+\mu\cdot Q_x }[/math].
• לכן [math]\displaystyle{ \frac{\mu'}{\mu}=\frac{P_y-Q_x}{Q} }[/math].
• ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
• במקרה זה, פתרון יהיה [math]\displaystyle{ \mu(x)=e^{\int\left(\frac{P_y-Q_x}{Q}\right)dx} }[/math]

• דוגמא - המשוואה [math]\displaystyle{ y'=ry }[/math].
  • המשוואה הינה [math]\displaystyle{ -rydx+dy=0 }[/math].
  • [math]\displaystyle{ P_y=-r\neq 0=Q_x }[/math]
  • מתקיים כי [math]\displaystyle{ \frac{P_y-Q_x}{Q}=-r }[/math] תלוי בx בלבד.
  • לכן יש גורם אינטגרציה [math]\displaystyle{ \mu(x,y)=e^{-rx} }[/math]
  • נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
  • [math]\displaystyle{ -re^{-rx}ydx+e^{-rx}dy=0 }[/math].
  • כעת [math]\displaystyle{ P_y=-re^{-rx}=Q_x }[/math].
  • [math]\displaystyle{ U(x,y)=\int Pdx +c(y) = e^{-rx}y+c(y) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ Q=U_y=e^{-rx}+c'(y) }[/math].
  • לכן [math]\displaystyle{ c'(y)=0 }[/math] ואפשר לבחור [math]\displaystyle{ c(y)=0 }[/math].
  • סה"כ [math]\displaystyle{ U(x,y)=e^{-rx}y=C }[/math].
  • (כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)

• דוגמא - המשוואה [math]\displaystyle{ (1-x^2y)dx+x^2(y-x)dy=0 }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \frac{P_y-Q_x}{Q}=\frac{-x^2-(2xy-3x^2)}{x^2(y-x)}=\frac{2x(x-y)}{x^2(y-x)}=-\frac{2}{x} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \mu(x)=e^{-2ln(x)}=\frac{1}{x^2} }[/math].
  • אכן המשוואה [math]\displaystyle{ (\frac{1}{x^2}-y)dx+(y-x)dy=0 }[/math] מדוייקת.
    • נבדוק: [math]\displaystyle{ P_y=-1=Q_x }[/math].
  • נפתור את המד"ר:
    • [math]\displaystyle{ U(x,y)=\int Pdx+c(y)=-\frac{1}{x}-yx+c(y) }[/math].
    • [math]\displaystyle{ Q=U_y=-x+c'(y) }[/math].
    • [math]\displaystyle{ c'(y)=y-x+x=y }[/math].
    • [math]\displaystyle{ c(y)=\frac{y^2}{2} }[/math].
    • סה"כ הפתרון למד"ר הוא [math]\displaystyle{ U(x,y)=-\frac{1}{x}-yx+\frac{y^2}{2}=C }[/math].

משפט הקיום והיחידות

בעיית קושי

• מציאת פתרון למד"ר [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ y(x_0)=y_0 }[/math]

שיטת פיקרד

• נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את משפט הקיום והיחידות.
• נגדיר [math]\displaystyle{ \varphi_0=y_0 }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ \varphi_n=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_{n-1}(t))dt }[/math].
• מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.

• דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית) [math]\displaystyle{ y'=-ry }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \varphi_0=y_0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \varphi_1=y_0+\int_{x_0}^x(-ry_0)dt=y_0+y_0(-r(x-x_0)) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \varphi_2=y_0+\int_{x_0}^x\left(-r)\cdot(y_0+y_0(t-x_0)\right)dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{2} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \varphi_3=y_0+\int_{x_0}^x\varphi_2dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{2}+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{3!} }[/math]
  • נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל[math]\displaystyle{ \varphi_n(x)\to y(x)=y_0e^{-r(x-x_0)} }[/math]
  • אם נתון תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ y(0)=C }[/math] נקבל בדיוק את הפתרון [math]\displaystyle{ y=Ce^{-rx} }[/math].

ניסוח משפט הקיום והיחידות

• תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] רציפה ובעלת נגזרת [math]\displaystyle{ f_y }[/math] במלבן הסגור [math]\displaystyle{ |x-x_0|\leq a, |y-y_0|\leq b }[/math].
• נביט בבעיית הקושי [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math], עם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ y(x_0)=y_0 }[/math]
• נבחר [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם כך ש [math]\displaystyle{ |f(x,y)|\lt M }[/math] במלבן הנתון, ונסמן [math]\displaystyle{ a'=\min\{a,\frac{b}{M}\} }[/math].
• אזי קיים פתרון יחיד [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] לבעיית הקושי בתחום [math]\displaystyle{ |x-x_0|\leq a' }[/math].

• הערות:
• שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
  • אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים.
  • לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
• שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
• מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.

הרצאה 4 הוכחת משפט הקיום והיחידות

המשוואה האינטגרלית

• בעיית הקושי [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math] עם [math]\displaystyle{ y(x_0)=y_0 }[/math] שקולה למשוואה [math]\displaystyle{ y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt }[/math].

הוכחה

• נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון יחיד לבעיית הקושי.

• ראשית נשים לב לתכונה הבאה:
  • כיוון ש[math]\displaystyle{ f_y }[/math] רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
  • לפי משפט לגראנז' נקבל כי [math]\displaystyle{ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2| }[/math]

• נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן [math]\displaystyle{ |x-x_0|\leq a',|y-y_0|\leq b }[/math] שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של [math]\displaystyle{ f }[/math].
  • ראשית [math]\displaystyle{ \varphi_0=y_0 }[/math] כמובן בתוך המלבן.
  • כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי [math]\displaystyle{ \varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt }[/math].
  • לכן [math]\displaystyle{ |\varphi_{n+1}-y_0|\leq \int_{x_0}^x|f(t,\varphi_n(t)|dt\leq M(x-x_0)\leq Ma'\leq b }[/math].

• כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש):
  • ראשית, נשים לב כי [math]\displaystyle{ \varphi_n-y_0=\varphi_n-\varphi_0=\varphi_n-\varphi_{n-1}+\varphi_{n-1}-\varphi_{n-2}+...+\varphi_1-\varphi_0 }[/math].
  • לכן עלינו להוכיח כי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right) }[/math] מתכנס כאשר [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math].
  • ראשית, [math]\displaystyle{ |\varphi_1-\varphi_0|=|y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_0)dt-y_0|\leq M|x-x_0| }[/math]
  • כעת [math]\displaystyle{ |\varphi_2-\varphi_1|\leq\int_{x_0}^x|f(t,\varphi_1)-f(t,\varphi_0)|dt\leq \int_{x_0}^xK|\varphi_1-\varphi_0|dt\leq KM\frac{|x-x_0|^2}{2} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ |\varphi_3-\varphi_2|\leq \int_{x_0}^{x}K|\varphi_2-\varphi_1|dt=K^2M\frac{|x-x_0|^3}{3!} }[/math]
  • נמשיך כך ונקבל כי [math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=1}^n\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)\right|\leq \sum_{i=1}^n\left|\varphi_i-\varphi_{i-1}\right|\leq \sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{|x-x_0|^n}{n!}\leq \sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{a'^n}{n!} }[/math]
  • זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, ולפי מבחן הM של קושי, הטור המקורי מתכנס במידה שווה.