הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה) |
(←הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה) |
||
שורה 460: | שורה 460: | ||
*דוגמא: | *דוגמא: | ||
**נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t). | **נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t). | ||
+ | **נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה <math>y''=-ky</math>. | ||
+ | **נחפש פונקציה p של y המקיימת <math>y'=p(y)</math>. | ||
+ | **לכן <math>y''=p'(y)y'=p'\cdot p</math>. | ||
+ | **לכן אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה <math>pp'=-ky</math>. | ||
+ | ***זו משוואה פרידה <math>pdp=-kydy</math> ולכן <math>\frac{p^2}{2}=-\frac{ky^2}{2}+C</math>. | ||
+ | ***לכן <math>p(y)=\pm\sqrt{C-ky^2}</math>. | ||
+ | **לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה <math>y'=\pm\sqrt{C-ky^2}</math>. | ||
+ | ***<math>\int \frac{dy}{\sqrt{C-ky^2}}=\pm \int dt</math>. | ||
+ | ***<math>\frac{1}{\sqrt{k}}\arcsin\left(\sqrt{\frac{k}{c}}y\right)=\pm t+D</math>. | ||
+ | ***<math>\sqrt{\frac{c}{k}}\cdot sin\left(\pm\sqrt{k}t+D\right)</math>. | ||
+ | ***שימו לב שהביטוי <math>\frac{c}{k}</math> מייצג קבוע חיובי כלשהו. | ||
+ | ***שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון. |
גרסה מ־11:34, 14 באפריל 2018
תוכן עניינים
הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה . האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה .
- נסמן ב את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
- היא המהירות
- היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה , הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן ולכן גם .
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה .
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי .
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית כאשר היא הריבית השנתית.
המשוואה
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
- שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.
סדר ומעלה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה היא משוואה מסדר ראשון.
- משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה היא מסדר 3 ומעלה 2.
משוואות פרידות
- משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה .
- נהוג גם להחליף ולכן המשוואה תרשם כך .
- לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה , כלומר .
- משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
- ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
- הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
- במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים , כל אחד לפי המשתנה שלו!
- לדוגמא נפתור את המשוואה כמשוואה פרידה.
- ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי .
- נשים לב כי הנחנו כאן כי .
- כעת .
- .
- וביחד .
- לכן .
- לכן .
- כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
- בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) .
- שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
- בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
- בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.
הפיכת משוואה לפרידה
- נביט במשוואה שאינה משוואה פרידה.
- נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
- נגדיר את הפונקציה .
- מתקיים כי וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה .
- זוהי משוואה פרידה .
- נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי
- ולכן
- ולכן
- שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו מחוץ לתחום .
- שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
- על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
- אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.
הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
מד"ר הומוגנית
- פונקציה נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל מתקיים כי .
- לדוגמא הומוגנית מסדר 1.
- טענה: פונקציה היא מהצורה לכל אם"ם היא הומוגנית מסדר לכל .
- הוכחה:
- אם אזי לכל מתקיים .
- אם , נציב ונקבל כי .
- מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה כאשר הומוגנית מסדר .
- נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה באופן הבא:
- ראשית נסמן .
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה , ונקבל כי .
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה .
- נפריד את המשתנים .
- ולכן .
- נמצא את ונציב בחזרה .
- דוגמא - נפתור את המשוואה
- ולבסוף
- דוגמא - נפתור את המשוואה
מד"ר לינארית מסדר ראשון
- הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה .
- מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה .
- נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
- נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית היא פרידה.
- נפריד את המשתנים ונקבל .
- נבצע אינטגרציה ונקבל כי .
- ולכן
- כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
- נציב במקום המקדם הקבוע פונקציה , וננחש שזה פתרון של המד"ר.
- כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה כך שהמשוואה תתקיים.
- כלומר, נציב במשוואה .
- נקבל
- משוואה זו מתקיימת אם"ם .
- כלומר .
- לכן נבחר
- סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית הוא:
- דוגמא - המשוואה החביבה עלינו :
- ראשית, נשים לב כי ו.
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא
נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר
- גוף בעל מסה נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
- במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע , ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה .
במהירות גבוהה
- לפי החוק השני של ניוטון .
- כלומר
- נבצע הפרדת משתנים
- נבצע פירוק לשברים חלקיים:
- ולכן
- מצד שני
- לכן
- נסדר קצת
- נשים לב שכאשר אנו מתכנסים למהירות הסופית .
- אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.
במהירות נמוכה
- לפי החוק השני של ניוטון .
- כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית .
- ולכן הפתרון הוא .
- וכאשר המהירות שואפת למהירות הסופית .
משוואת ברנולי
- משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה עבור .
- נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
- נניח כי , ונחלק ב.
- נקבל את המשוואה .
- נציב .
- נגזור .
- נקבל משוואה לינארית .
- נפתור עבור ונציב חזרה לקבל .
- דוגמא - נפתור את המשוואה .
- נציב .
- נקבל ולכן .
- לכן
- לכן
- לכן
- ולבסוף
- דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
- נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
- ולכן (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
- זוהי משוואת ברנולי, נציב .
- לכן
- נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
- ולכן
- כמובן שכאשר המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.
הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות
הקדמה - פונקציות בשני משתנים
- נגזרות חלקיות
- דוגמא עבור מתקיים ו
- עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי (כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
- כלל השרשרת: אם אזי
- בפרט, עבור מתקיים
מד"ר מדוייקת
- מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה , עבור דיפרנציאבילית.
- פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה , כאשר C קבוע כלשהו.
- מד"ר מהצורה היא מדוייקת אם"ם ו בעלות נגזרות רציפות.
- הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
- נגזור את הפונקציה לפי המשתנה באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי
- לפי הנתון נובע כי ולכן פונקציה קבועה.
- הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
- כיוון ראשון, נניח מדוייקת.
- לכן קיימת דיפרנציאבילית כך ש .
- לכן .
- כיוון שני, נניח כי .
- אנו מחפשים עבורה .
- נעשה אינטגרציה לפי ונקבל כי .
- לכן ברור כי , השאלה היא אם ניתן לבחור עבורו .
- כלומר אנו רוצים
- משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
- אכן .
- כיוון ראשון, נניח מדוייקת.
- דוגמא: נפתור את המשוואה .
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: .
- נבצע אינטגרציה .
- נגזור לפי y ונקבל כי .
- לכן .
- לכן וסה"כ .
- לכן הפתרון למד"ר הוא .
גורם אינטגרציה
- לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה גורם אינטגרציה) וכך נהפוך אותה למדוייקת.
- באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.
- תהי מד"ר , ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה התלוי בx בלבד.
- כלומר מדוייקת.
- לכן .
- כלומר .
- לכן .
- ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
- במקרה זה, פתרון יהיה
- דוגמא - המשוואה .
- המשוואה הינה .
- מתקיים כי תלוי בx בלבד.
- לכן יש גורם אינטגרציה
- נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
- .
- כעת .
- .
- לכן ואפשר לבחור .
- סה"כ .
- (כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)
- דוגמא - המשוואה .
- .
- אכן המשוואה מדוייקת.
- נבדוק: .
- נפתור את המד"ר:
- .
- .
- .
- .
- סה"כ הפתרון למד"ר הוא .
משפט הקיום והיחידות
בעיית קושי
- מציאת פתרון למד"ר המקיימת
שיטת פיקרד
- נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את משפט הקיום והיחידות.
- נגדיר , ולכל נגדיר .
- מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.
- דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית) .
- נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל
- אם נתון תנאי ההתחלה נקבל בדיוק את הפתרון .
ניסוח משפט הקיום והיחידות
- תהי רציפה ובעלת נגזרת במלבן הסגור .
- נביט בבעיית הקושי , עם תנאי ההתחלה
- נבחר חסם כך ש במלבן הנתון, ונסמן .
- אזי קיים פתרון יחיד לבעיית הקושי בתחום .
- הערות:
- שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
- אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים.
- לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
- שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
- מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.
הרצאה 4 הוכחת משפט הקיום והיחידות
המשוואה האינטגרלית
- בעיית הקושי עם שקולה למשוואה .
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
- אזי .
- לכן .
- ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי .
- בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה.
- נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה).
- נציב במשוואה האינטגרלית את ונקבל .
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
הוכחה
- נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון יחיד לבעיית הקושי.
- ראשית נשים לב לתכונה הבאה:
- כיוון ש רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
- לפי משפט לגראנז' נקבל כי
- נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של .
- ראשית כמובן בתוך המלבן.
- כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי .
- לכן .
- הערה: בהוכחות הבאות נוכיח עבור ההוכחות עבור דומות.
- כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש):
- ראשית, נשים לב כי .
- לכן עלינו להוכיח כי הטור מתכנס כאשר .
- ראשית,
- כעת
- נמשיך כך ונקבל כי
- זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, ולפי מבחן הM של קושי, הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
- הערה: כיוון ש אזי גם הסדרה מתכנסת במ"ש באופן דומה.
- נוכיח שפונקצית הגבול היא פתרון של בעיית הקושי.
- נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף .
- נקבל כי .
- הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש.
- טענת עזר - תהי חסומה כך שלכל בקטע מתקיים כי אזי לכל בקטע.
- .
- .
- .
- נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי .
- לכן .
- לכן .
- יהיו שני פתרונות לבעיית הקושי, נוכיח כי :
- .
- לכן לפי טענת העזר, .
הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה
- נחקור כעת משוואות מהצורה
- דוגמא:
- נביט במסה המחוברת לקפיץ עם קבוע k, על משטח ללא חיכוך.
- נסמן את המרחק של המסה מהמצב הרפוי של הקפיץ בX.
- הכוח הפועל על המסה הוא .
- לכן לפי החוק השני של ניוטון .
הורדת סדר המשוואה
מד"ר מסדר גבוה ללא y
- אם y אינו מופיע במשוואה פשוט נחליף משתנה .
- דוגמא:
- משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני .
- נביט בפונקצית המהירות ונקבל את המשוואה מסדר ראשון.
מד"ר מסדר גבוה ללא x
- אם x אינו מופיע במשוואה נחפש פונקציה של y כך שיתקיים .
- דוגמא:
- נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t).
- נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה .
- נחפש פונקציה p של y המקיימת .
- לכן .
- לכן אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה .
- זו משוואה פרידה ולכן .
- לכן .
- לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה .
- .
- .
- .
- שימו לב שהביטוי מייצג קבוע חיובי כלשהו.
- שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון.