גרסה אחרונה מ־14:09, 2 בספטמבר 2018

משפט הדרגה

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] . אזי מתקיים:

[math]\displaystyle{ \dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V) }[/math]

הוכחה

נסמן את הבסיס לגרעין ב־[math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k\} }[/math] .

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math] , נסמנו [math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\} }[/math] .

נוכיח כי [math]\displaystyle{ E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\} }[/math] בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

E פורש את ImT

כיוון שכל וקטור ב־[math]\displaystyle{ V }[/math] הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, [math]\displaystyle{ T }[/math] שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math] התמונות של אברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של [math]\displaystyle{ T }[/math] .

כלומר [math]\displaystyle{ \Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\} }[/math] .

ברור כי [math]\displaystyle{ Tv_1=\cdots=Tv_k=0 }[/math] (הרי בחרנו את [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים [math]\displaystyle{ \Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\} }[/math] .

E בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי [math]\displaystyle{ E }[/math] :

[math]\displaystyle{ a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T }[/math]

ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו

[math]\displaystyle{ a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k }[/math]

נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] , ולכן כל המקדמים הם 0.

לכן [math]\displaystyle{ E }[/math] בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

הוכחנו אפוא, כי [math]\displaystyle{ E }[/math] הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.

[math]\displaystyle{ \dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T) }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]
 =משפט הדרגה=
-יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים:
+יהיו <math>V,W</math> מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> . אזי מתקיים:
+:<math>\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)</math>
+=הוכחה=
+נסמן את הבסיס לגרעין ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .
+נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־<math>V</math> , נסמנו <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\}</math> .
+נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
+===E פורש את ImT===
+כיוון שכל וקטור ב־<math>V</math> הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, <math>T</math> שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.
+לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־<math>V</math> התמונות של אברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של <math>T</math> .
+כלומר <math>\Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .
+ברור כי <math>Tv_1=\cdots=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,\ldots,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).
-::<math>dim(kerT)+dim(ImT)=dim(V)</math>
+לכן מתקיים <math>\Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .
-=הוכחה=
+===E בת"ל===
+ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי <math>E</math> :
+:<math>a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0</math>
+לכן
+:<math>T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0</math>
+לכן
+:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T</math>
+ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו
+:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k</math>
+נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של <math>V</math> , ולכן כל המקדמים הם 0.
+לכן <math>E</math> בת"ל.
+===ספירת ממדים וסיכום===
+הוכחנו אפוא, כי <math>E</math> הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.
+:<math>\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)</math>
+[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]