הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2"
(←תרגיל) |
(←נוסחת דה-מואבר) |
||
שורה 27: | שורה 27: | ||
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: <math>(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)</math>. | מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: <math>(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)</math>. | ||
− | '''לדוגמא:''' <math> | + | '''לדוגמא:''' <math>(\sqrt{2}\text{cis}60)^3=2\sqrt{2}\text{cis}180=-2\sqrt{2}</math>. |
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם <math>(r\text{cis}\theta)^n=p\text{cis}\phi</math> אז <math>r=\sqrt[n]{p}, n\cdot \theta=\phi + 2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\phi +2\pi k}{n}=\frac{\phi}{n}+\frac{2\pi k}{n}</math>. | כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם <math>(r\text{cis}\theta)^n=p\text{cis}\phi</math> אז <math>r=\sqrt[n]{p}, n\cdot \theta=\phi + 2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\phi +2\pi k}{n}=\frac{\phi}{n}+\frac{2\pi k}{n}</math>. |
גרסה מ־11:16, 23 באוקטובר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הצגה פולרית של מספרים מרוכבים
נתבונן במספר מרוכב , נסמן ב
את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב
את הנורמה, אז נקבל:
. ולכן נקבל
, שמסומן בקצרה:
.
מעבר בין הצגות
מקרטזית לפולרית: בהינתן , ניקח
עד כדי הוספת
לפי מיקום המספר על הצירים.
לדוגמא: עבור המספר נקבל
.
מפולרית לקרטזית: אם אז
.
תרגיל
חשבו:
1. .
2. .
פתרון
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות:
2. עוברים לקרטזית ושם מחברים:
נוסחת דה-מואבר
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: .
לדוגמא: .
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם אז
.
תרגיל
חשב את
פתרון
נקבל . נשים לב שאם ניקח
נקבל
, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור
.
שורשים של פולינם
תרגיל
פתרו: .
פתרון
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: . עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים:
...
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום . ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה
. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (
) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה
. כך נמצא את
.