הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2"
(←נוסחת דה-מואבר) |
(←שורשים של פולינם) |
||
שורה 48: | שורה 48: | ||
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: <math>-2=2cis\pi</math>. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: <math>z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4</math>... | ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: <math>-2=2cis\pi</math>. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: <math>z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4</math>... | ||
− | ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום <math>x^5+2</math>. ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים | + | ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום <math>x^5+2</math>. ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים להם המתקבל |
+ | ממכפלת הגורמים הליניאריים המרוכבים: <math>(x-z_0)(x-\overline{z_0})=x^2-(z_0+\overline{z_0})x+z_0\overline{z_0}=x^2-2Re(z_0)x+|z_0|^2</math>\ וכאן כל המקדמים ממשיים. |
גרסה מ־12:33, 5 בנובמבר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הצגה פולרית של מספרים מרוכבים
נתבונן במספר מרוכב , נסמן ב
את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב
את הנורמה, אז נקבל:
. ולכן נקבל
, שמסומן בקצרה:
.
מעבר בין הצגות
מקרטזית לפולרית: בהינתן , ניקח
עד כדי הוספת
לפי מיקום המספר על הצירים.
לדוגמא: עבור המספר נקבל
.
מפולרית לקרטזית: אם אז
.
תרגיל
חשבו:
1. .
2. .
פתרון
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות:
2. עוברים לקרטזית ושם מחברים:
נוסחת דה-מואבר
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: .
לדוגמא: .
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם אז
.
תרגיל
חשב את
פתרון
נקבל . נשים לב שאם ניקח
נקבל
, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור
.
שורשים של פולינם
תרגיל
פתרו: .
פתרון
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: . עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים:
...
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום . ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה
. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים להם המתקבל
ממכפלת הגורמים הליניאריים המרוכבים:
\ וכאן כל המקדמים ממשיים.