הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4"
(יצירת דף עם התוכן "חזרה ל מערכי תרגול. ==הגדרה== כדי להבין פנקציות מהצו...") |
(←רציפות של פונקציות בשני משתנים) |
||
שורה 35: | שורה 35: | ||
הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע <math>f(0,0)=0</math> כי אם ניקח את הסדרות <math>x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}</math> נקבל <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1</math> לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן". | הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע <math>f(0,0)=0</math> כי אם ניקח את הסדרות <math>x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}</math> נקבל <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1</math> לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן". | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | |||
+ | האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin{cases} | ||
+ | \frac{\sin(x\cdot y)}{x} & x\neq0\\ | ||
+ | 0 & x=0 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | =====פתרוןו===== | ||
+ | |||
+ | אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות <math>x_{n},y_{n}</math> מתקיים: <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0</math>. נראה זאת: | ||
+ | |||
+ | <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|=|\frac{\sin(x_{n}y_{n})}{x_{n}}|=\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}</math>. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים <math>|\sin x|\leq|x|</math>, ולכן אצלנו נקבל <math>|\sin(xy)|\leq|xy|</math> ונוכל להמשיך: | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}\leq\frac{|x_{n}y_{n}|}{|x_{n}|}=\frac{|x_{n}|\cdot|y_{n}|}{|x_{n}|}=|y_{n}|\to 0</math> |
גרסה מ־10:46, 20 בנובמבר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הגדרה
כדי להבין פנקציות מהצורה צריך להבין מה עושה פונקציה . פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
לדוג': ועוד כהנה וכהנה.
במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה , זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: ואז נקבל: .
רציפות
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה רציפה ב אם לכל סדרה מתקיים: . פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
משפטים
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
משפט חשוב: רציפה אם ורק אם רציפות.
לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.
רציפות של פונקציות בשני משתנים
פונקציה רציפה בנק' אם לכל זוג סדרות מתקיים: . כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.
תרגיל
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים:
אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב כדי שכן תהיה רציפה שם?
פתרון
לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות עבורן לא מתקיים: . וזה מה שנעשה כאן:
אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, , וניקח למשל , אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא ). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב נובע שהפונקציה לא רציפה.
הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע כי אם ניקח את הסדרות נקבל לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".
תרגיל
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים:
פתרוןו
אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות מתקיים: . נראה זאת:
. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים , ולכן אצלנו נקבל ונוכל להמשיך: