אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ \triangle z\to 0 }[/math] קיים הגבול [math]\displaystyle{ \underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z} }[/math], ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

דוגמאות

תרגיל

האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(z)=z^2 }[/math] גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

תרגיל

האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2a-3bi }[/math] גזירה?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

תרגיל

א. תהי [math]\displaystyle{ f(z)=z^n }[/math] הוכיחו: [math]\displaystyle{ f'(z)=nz^{n-1} }[/math].

ב. יהי [math]\displaystyle{ P(z)=\stackrelthree{\sum}{k=0}{n} \alpha_kz^k }[/math] פולינום. הוכיחו ש- [math]\displaystyle{ P'(z)=\stackrelthree{\sum}{k=1}{n} k\alpha_kz^{k-1} }[/math].

פתרון

א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.

ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.

תנאי קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תהי [math]\displaystyle{ U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math] פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.

דוגמא: [math]\displaystyle{ U(x,y)=x^2+2xy }[/math] אז הנגזרות החלקיות הן: [math]\displaystyle{ U_x=2x+2y,U_y=2x }[/math].

עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.

כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של [math]\displaystyle{ U,V }[/math] המתאימות.

תנאי קושי רימן

תהי [math]\displaystyle{ f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i }[/math] פונקציה מרוכבת. [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ z_0=(x_o,y_0) }[/math] אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases} }[/math].

ובמקרה זה מתקיים: [math]\displaystyle{ f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i }[/math].

תרגיל

באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות:

1. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=x+y^3i }[/math]

2. [math]\displaystyle{ f(z)=z+Re(z) }[/math]

3. [math]\displaystyle{ f(z)=(z-1)(Re(z))^2 }[/math]

4. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=e^x\text{cis}y }[/math]

משפט

פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.

תרגיל

הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ f=U+Vi }[/math] גזירה והחלק הממשי של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא פונקציה קבועה אז [math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה.

פתרון

[math]\displaystyle{ U }[/math] קבועה ולכן [math]\displaystyle{ U_x=U_y=0 }[/math], וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן [math]\displaystyle{ V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0 }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ V }[/math] קבועה. ולכן[math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה.