הבדלים בין גרסאות בדף "אי-שוויון הממוצעים"
(←הוכחת אי שיוויון הממוצעים) |
|||
שורה 57: | שורה 57: | ||
כלומר שיוויון אם"ם <math>a_1=...=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math> | כלומר שיוויון אם"ם <math>a_1=...=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==שימושים== | ||
+ | |||
+ | ===היקפי מלבן וריבוע בעלי שטח זהה=== | ||
+ | יהיו מלבן וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המלבן גדול מהיקף הריבוע. | ||
+ | |||
+ | נסמן את שטח הצורות בs, ואת צלעות המלבן ב<math>a\neq b</math>. | ||
+ | |||
+ | אזי היקף המלבן הינו <math>2(a+b)</math> ואילו היקף הריבוע הינו <math>4\sqrt{s}</math>. | ||
+ | |||
+ | לפי אי שיוויון הממוצעים נקבל כי: | ||
+ | |||
+ | :<math>2(a+b)=4\frac{a+b}{2}>4\sqrt{ab}=4\sqrt{s}</math> | ||
==ביבליוגרפיה== | ==ביבליוגרפיה== | ||
*אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל. | *אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל. |
גרסה מ־16:00, 29 בנובמבר 2018
"נהוג לומר כי אם פותרים בעיה מסוימת אחת באופן מסוים אז זה תיחכום, ואם פותרים שתיים בעזרת אותו רעיון אז זו כבר שיטה".
(אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, פרופ' בנו ארבל.)
תוכן עניינים
אי-שוויון הממוצעים
יהיו מספרים חיוביים אזי:
כאשר משמאל מופיע הממוצע ההרמוני, במרכז הממוצע ההנדסי (גאומטרי) ומימין הממוצע החשבוני (אלגברי).
שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים .
טענת עזר
ראשית, נוכיח את הטענה הבאה:
- יהיו ממשיים חיוביים המקיימים .
- אזי , ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.
עבור n=1 הטענה טריוויאלית.
יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.
יהיו ממשיים חיוביים המקיימים .
כיוון ש הינו המספר הקטן ביותר, ואילו הינו המספר הגדול ביותר נובע כי ואילו .
נסמן , אזי , ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי ושיוויון אם"ם כולם שווים 1.
לכן אם נוכיח , נקבל .
כעת נוכיח את אי השיוויון הרצוי
- .
זה נכון אם"ם
זה שקול לאי השיוויון
הוא נכון כיוון ש ואילו .
כעת שיוויון גורר כי ולכן .
לכן וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כי .
הוכחת אי שיוויון הממוצעים
נגדיר ונבחין כי:
לכן לפי טענת העזר נקבל כי:
ולכן ושיוויון אם"ם .
כלומר שיוויון אם"ם
שימושים
היקפי מלבן וריבוע בעלי שטח זהה
יהיו מלבן וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המלבן גדול מהיקף הריבוע.
נסמן את שטח הצורות בs, ואת צלעות המלבן ב.
אזי היקף המלבן הינו ואילו היקף הריבוע הינו .
לפי אי שיוויון הממוצעים נקבל כי:
ביבליוגרפיה
- אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.