שינויים
/* הרצאה 13 - משוואת אוילר */
==הרצאה 13 - משוואת אוילר==
*משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה:**<math>a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math>*על מנת לפתור את המד"ר עבור <math>x>0</math> נגדיר <math>u(t)=y(e^t)</math>.*נקבל כי ****<math>u'(t)=e^ty'(e^t)</math>**<math>u''(t)=e^{2t}y''(e^t)+e^ty'(e^t) = e^{2t}y''(e^t)+u'(t)</math>**<math>u'''(t)=e^{3t}y'''(e^t) + 2e^{2t}y''(e^t)+u''(t) = e^{3t}y'''(e^t)+2(u''(t)-u'(t))+u''(t)</math>**באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>u^{(m)}(t)=e^{mt}y^{(m)}(e^t)+\sum_{k=1}^{m-1} b_ku^{(k)}(t)</math> עבור קבועים כלשהם.*לכן אם נציב <math>x=e^t</math> במד"ר נקבל כי <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> עבור קבועים כלשהם, זו מד"ר שאנחנו יודעים לפתור.*אנחנו רוצים למצוא בקלות את הפתרונות של המשוואה האופיינית, בלי למצוא ישירות את הסקלרים.**<math>r</math> פתרון למשוואה האופיינית, אם"ם <math>u(t)=e^{rt}</math> פותר את המד"ר.**לכן פונקצייה המקיימת <math>y(e^t)=e^{rt}</math> היא פתרון, כלומר <math>y(x)=x^r</math> פתרון למד"ר המקורית.**נציב <math>y=x^r</math> במד"ר ונקבל <math>a_n\cdot r(r-1)\cdots(r-n+1) x^r + ...+a_0 x^r=0</math>.**קיבלנו <math>a_n\cdot r(r-1)\cdots(r-n+1) + ...+a_1r+a_0=0</math> וזו המשוואה '''האינדיציאלית'''.
