הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 8"
(יצירת דף עם התוכן "חזרה ל מערכי תרגול. ==הומוגנית עם מקדמים קבועים== המ...") |
(←הומוגנית עם מקדמים קבועים) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
==הומוגנית עם מקדמים קבועים== | ==הומוגנית עם מקדמים קבועים== | ||
− | המד"ר היא מהצורה <math>y''+ | + | המד"ר היא מהצורה <math>y''+by'+cy=0</math>, ויש לה משוואה אופיינית: <math>t^2+bt+c=0</math>. פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות: |
1. '''דסקרמיננטה חיובית:''' במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית <math>t_1,t_2</math>, ופיתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}</math>. | 1. '''דסקרמיננטה חיובית:''' במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית <math>t_1,t_2</math>, ופיתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}</math>. | ||
− | 2. '''דסקרמיננטה שלילית:''' במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית <math>z= | + | 2. '''דסקרמיננטה שלילית:''' במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית <math>z=\alpha+\betai,\overline{z}=\alpha-\beta i</math>, ופתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)</math>. |
3. '''דסקרמיננטה = <math>0</math>:''' במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית <math>t</math>, ופתרון המד"ר הוא <math>y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}</math>. | 3. '''דסקרמיננטה = <math>0</math>:''' במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית <math>t</math>, ופתרון המד"ר הוא <math>y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}</math>. |
גרסה מ־06:25, 8 בינואר 2019
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הומוגנית עם מקדמים קבועים
המד"ר היא מהצורה , ויש לה משוואה אופיינית: . פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות:
1. דסקרמיננטה חיובית: במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית , ופיתרון המד"ר הוא: .
2. דסקרמיננטה שלילית: במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \betai לא מוכרת): z=\alpha+\betai,\overline{z}=\alpha-\beta i , ופתרון המד"ר הוא: .
3. דסקרמיננטה = : במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית , ופתרון המד"ר הוא .
תרגילים
נפתור את המד"ר הבאות:
1.
2.
3.
4.
פתרון
1. המשוואה האופיינית היא שזה בעצם , ונקבל ולכן פתרון המד"ר הוא: .
2. המשוואה האופיינית היא , נוסחת השורשים: . ונקבל שהפתרון הוא: .
3. המשוואה האופיינית היא . נוסחת השורשים: וכו'.
4. המשוואה האופיינית היא , ולכן הפתרון הוא: .
לא הומוגנית עם מקדמים קבועים
מד"ר מהצורה פותרים בצורה הבאה: ראשית פותרים את המד"ר כהומוגנית. שנית, מנחשים פתרון פרטי כפי שנלמד במקרים מסויימים, ואז הסכום שלהם הוא פתרון כללי למד"ר. להלן המקרים המסויימים:
מקרה הפולינום
אם פולינום. ננחש שהפתרון הוא פולינום ריבועי, ואז נפתור שלוש משוואות בשלוש נעלמים.