הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון"
(יצירת דף עם התוכן "===תרגיל 1=== יהיו <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-<math>...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
===תרגיל 1=== | ===תרגיל 1=== | ||
יהיו <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> הינה על אם"ם היא חח"ע. | יהיו <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> הינה על אם"ם היא חח"ע. | ||
− | פתרון: | + | פתרון:\ |
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>. | נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>. | ||
גרסה מ־15:14, 28 במאי 2019
תרגיל 1
יהיו ו- קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ- ל- הינה על אם"ם היא חח"ע. פתרון:\ נסמן . כאשר כל האיברים ב- שונים זה מזה וכנ"ל ב-.
נניח חח"ע אזי כיוון ש- ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן על.
נניח על. נניח בשלילה ש- אינה חח"ע אזי (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז אינה על, שזו סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם ו- קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
תרגיל 2
תהא קבוצה. נגדיר פונקציה ע"י: האם היא חח"ע? על? פתרון: חח"ע: כן. תהיינה אם אזי . אחרת . כלומר .
על: לא. נבחר . למשל לקבוצה אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
תרגיל 3
יהיו שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה הפיכה\חח"ע\על. פתרון: למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל ונוכיח ל.
חח"ע: נניח אזי מחח"ע של נקבל כי מהנחת האינדוקציה עבור פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן .
על: יהא כיוון ש- על, קיים כך ש-. בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים כך ש ולכן נקבל . מש"ל.
הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.