חוג ריבועי: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
עבור שלם D [[חופשי מריבועים]] (כלומר שאין לו מחלק ריבועי), נסמן <math>\ {\mathcal{O}}_D = \begin{cases}\mathbb{Z}[\sqrt{D}] & D \equiv 2,3 \pmod{4} \\ | עבור שלם D [[חופשי מריבועים]] (כלומר שאין לו מחלק ריבועי), נסמן <math>\ {\mathcal{O}}_D = \begin{cases}\mathbb{Z}[\sqrt{D}] & D \equiv 2,3 \pmod{4} \\ | ||
\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}] & D \equiv 1 \pmod{4} \end{cases}</math>. החוג <math>\ \mathcal{O}_D</math> הוא "הסגור השלם" של חוג השלמים בשדה <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{D}]</math>. כל תחום שלמות ריבועי הוא תת-חוג של חוג מהצורה הזו. | \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}] & D \equiv 1 \pmod{4} \end{cases}</math>. החוג <math>\ \mathcal{O}_D</math> הוא "הסגור השלם" של חוג השלמים בשדה <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{D}]</math>. כל תחום שלמות ריבועי הוא תת-חוג של חוג מהצורה הזו. | ||
תחומי שלמות ריבועיים הם "מעבדה" לבחינת מושגי היסוד של תחומי שלמות: איברים ראשוניים ואי-פריקים, פריקות יחידה ואידיאלים ראשיים, אוקלידיות וכדומה. חלק מהמושגים האלה דורשים חישוב של חוגי מנה. נדגים זאת בכמה מקרים. | |||
=== חישוב חוגי מנה === | |||
נחשב את <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{10}]/\langle 4-\sqrt{10}\rangle</math>. כדי לוודא שלא תשתחל פנימה טעות בסימן של השורש, נחליף אותו בשם משתנה ונכתוב את החוג המקורי כמנה <math>\ \mathbb{Z}[t]/\langle t^2-10\rangle</math>, ואת חוג המנה המבוקש כמנה <math>\ \mathbb{Z}[t]/\langle t^2-10, 4-t\rangle</math>. מכיוון שבחוג המנה הזה t=4, מתברר ש-<math>0 \equiv t^2-10 \equiv 4^2-10 = -6</math>, כלומר המנה היא <math>\ \mathbb{Z}_6[t]/\langle t^2-10, 4-t\rangle = \mathbb{Z}_6</math>. | |||
גרסה מ־07:57, 4 ביולי 2019
חוג ריבועי הוא חוג שבו כל איבר מקיים משוואה ממעלה שניה מעל השלמים.
עבור שלם D חופשי מריבועים (כלומר שאין לו מחלק ריבועי), נסמן [math]\displaystyle{ \ {\mathcal{O}}_D = \begin{cases}\mathbb{Z}[\sqrt{D}] & D \equiv 2,3 \pmod{4} \\ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}] & D \equiv 1 \pmod{4} \end{cases} }[/math]. החוג [math]\displaystyle{ \ \mathcal{O}_D }[/math] הוא "הסגור השלם" של חוג השלמים בשדה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Q}[\sqrt{D}] }[/math]. כל תחום שלמות ריבועי הוא תת-חוג של חוג מהצורה הזו.
תחומי שלמות ריבועיים הם "מעבדה" לבחינת מושגי היסוד של תחומי שלמות: איברים ראשוניים ואי-פריקים, פריקות יחידה ואידיאלים ראשיים, אוקלידיות וכדומה. חלק מהמושגים האלה דורשים חישוב של חוגי מנה. נדגים זאת בכמה מקרים.
חישוב חוגי מנה
נחשב את [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}[\sqrt{10}]/\langle 4-\sqrt{10}\rangle }[/math]. כדי לוודא שלא תשתחל פנימה טעות בסימן של השורש, נחליף אותו בשם משתנה ונכתוב את החוג המקורי כמנה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}[t]/\langle t^2-10\rangle }[/math], ואת חוג המנה המבוקש כמנה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}[t]/\langle t^2-10, 4-t\rangle }[/math]. מכיוון שבחוג המנה הזה t=4, מתברר ש-[math]\displaystyle{ 0 \equiv t^2-10 \equiv 4^2-10 = -6 }[/math], כלומר המנה היא [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_6[t]/\langle t^2-10, 4-t\rangle = \mathbb{Z}_6 }[/math].