שינויים
/* פתרון */
=המשך קבוצות= =תרגיל=משלים ==נתון '''הגדרה''': תהי קבוצה <math>U</math>, ונביט בתת קבוצה שלה <math>A=\{\phi\}</math> ונתון . ניתן להגדיר את ה'''משלים''' של <math>B=A</math> כאוסף האיברים ב-<math>U</math> שאינם ב-<math>A</math> (כלומר ההפרש <math>U\{\phisetminus A</math>),\{\phi\}\}המסומן <math>A^c</math>. סמן לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא <math>U</math> מכיוון שאין קבוצה המכילה את הביטויים הנכוניםכל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל). תכונות בסיסיות:#* <math>A\phi\subseteq Bcup A^c = U</math> (כן)#* <math>\phi\in \phivarnothing^c = U</math> (לא)#* <math>U^c = \phi \subseteq \phivarnothing</math> (כן)#* <math>(A^c)^c = A\subseteq B</math> על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (כןהנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):#*<math>(A\in cap B)^c = A^c \cup B^c</math> (כן)#*<math>(A\cup B )^c = A^c \cap B^c</math> (כן)#הערה: באופן כללי מתקיים * <math>A(\cap Bbigcap _{i\in I} A_i)^c =\phibigcup _{i\in I} A_{i}^c </math>* <math> (לא\bigcup _{i\in I} A_i)^c = \bigcap _{i\in I} A_{i}^c </math>
===תרגיל===
====פתרון====
<math>x\in A \triangle B \iff (x\in A \land x\notin B)\lor (x\in B \land x\notin A) \iff</math>
<math>(x\notin B^c \land x\in A^c)\lor (x\notin A^c \land x\in B^c) \iff</math>
<math>(x\in A^c \land x\notin B^c)\lor (x\in B^c \land x\notin A^c) \iff x\in A^c \triangle B^c</math>
===תרגיל===לכל <math>\iff [(xn\in A) \and (xmathbb{N}</math> נגדיר <math>A_n=\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff [(x{k\in A) \and (xmathbb{N}|2\in B)]leq k\and leq 2n-1\neg [(x\in C)}</math> ונגדיר <math>B_n=A_{n+1}\and(x\in A)] smallsetminus A_n</math>.
א. מצאו את <math>\bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>.
====פתרון====
<math>x\in A mathbb{N}\land xsmallsetminus \in B {1\land x} \notsubseteq \bigcup_{n\in C \Leftarrowmathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>xa\in A\cap B mathbb{N}\land xsmallsetminus \not{1\in A}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2\leq k\leq 2n+1\}\smallsetminus \{2\leq k\leq 2n-1\}=\cap C {2n,2n+1\Leftarrow}</math>. לכן אם <math>xa</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\in (Afrac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\cap B) \backslash (Ain B_{\cap C)frac{n-1}{2}}</math>.
==קבוצת החזקה== '''הגדרה''': תהי קבוצה <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math>(כי אם בתור אוסף כל תת הקבוצות של <math>x\in CA</math> אזי . נסמן <math>x\in P(A\cap C</math> סתירה)<math>x=\in {X:X\subseteq A\cap(B\backslash C)\Leftarrow }</math>. האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
===תרגיל===
====פתרון====
א. <math>P(A)\cap P(B)==== משלים ====P(A\cap B)</math>
<math>X\subseteq A\cap B\iff X\in P(A\cap B)</math>
===תרגיל ממבחן===
א. אם <math>A \not\subseteq B \cap C</math> אזי <math>(A/\setminus B)\cap(A/\setminus C)\neq \phivarnothing</math>
ב. אם <math>A\subseteq B</math> אזי <math>A\cup(B/\setminus A)=B</math>
ג. אם <math>A\cap B=\phivarnothing</math> אזי <math>P(A)\cap P(B) = \{\phivarnothing\}</math> ====פתרון====א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA איננה מוכלת בחיתוך של B וC אבל <math>(A/B)\cap(A/C)=\{2\}\cap\{1\}=\phi</math>
===פתרון===
א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור ש-<math>A</math> איננה מוכלת בחיתוך <math>B\cap C</math> אבל <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing</math>.
ב. נתון שלכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a \in B</math>. אזי <math>x\in [A\cup(B/A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)] </math>
<math>x\in [A\cup(B\setminus A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff</math>
דרך נוספת: נגדיר את <math>B</math> להיות הקבוצה האוניברסאלית <math>U:=B</math> ואז צריך להוכיח כי
<math>A\cup A^c =U</math> וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\phivarnothing\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה , החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>C \phi ne\not=Cvarnothing</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תתי תת הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC ש-<math>C</math> אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש-<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן <math>c </math> מוכל בחיתוך , בסתירה לכך שהחיתוך ריק.