88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2

חזרה למערכי התרגול

מכפלה קרטזית

הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - [math]\displaystyle{ A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\} }[/math]. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים [math]\displaystyle{ (1,2),(2,1) }[/math] והאיבר הבא הינו זוג חוקי [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math].

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3\} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\{a,b\} }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\} }[/math]

ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:

תרגיל (בשיעורי הבית בד"כ)

הוכח/הפרך:

1. [math]\displaystyle{ [(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\} }[/math]

2. [math]\displaystyle{ [(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\} }[/math]

פתרון

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית [math]\displaystyle{ a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\} }[/math]

2.

הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי [math]\displaystyle{ \{a\}=\{c\} }[/math] או ש [math]\displaystyle{ \{a\}=\{c,d\} }[/math].

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, [math]\displaystyle{ \{a,b\}=\{c,b\}=\{c\} }[/math] או [math]\displaystyle{ \{c,b\}=\{c,d\} }[/math] ונובע משניהם ש b=d.

לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).

תרגיל

הוכיחו או הפריכו:

א. לכל קבוצות A,B,C מתקיים [math]\displaystyle{ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C) }[/math]

ב. לכל קבוצות [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ (A\times B)\cup (C\times D)=(A\cup C)\times (B\cup D) }[/math]

פתרון

א. הוכחה: [math]\displaystyle{ (x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in C)] \iff (x,y)\in[(A\times B)\cap(A\times C)] }[/math]

ב. הפרכה: אפשר פשוט לקחת [math]\displaystyle{ A=\{1\},B=\{2\},C=\{3\},D=\{4\} }[/math]. אפשר גם לקחת [math]\displaystyle{ A=B=[0,1],C=D=[1,2] }[/math], ולהראות את המלבנים המתאימים שיוצאים בשני הצדדים - זה אולי יותר ממחיש את המכפלה.

יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים

הגדרה: יהיו A,B קבוצות, [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times B }[/math] יקרא יחס (מ A ל -B). הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "לקשר" בין איברי A ל B. דוגמא: [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\} }[/math] ונביט בתת הקבוצה [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times B }[/math] הבאה: [math]\displaystyle{ R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\} }[/math]. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש [math]\displaystyle{ a\leq b }[/math]. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה [math]\displaystyle{ S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\} }[/math] היא יחס. גם [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] היא יחס. וגם [math]\displaystyle{ A\times B }[/math] הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט [math]\displaystyle{ a\leq b }[/math].

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math] אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

תכונות של יחסים על קבוצה

הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times A }[/math]

תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי

1. R נקרא רפלקסיבי אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a\in A:(a,a)\in R }[/math])
2. R נקרא סימטרי אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R] }[/math])
3. R נקרא טרנזיטיבי אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)] }[/math])
4. R נקרא אנטי סימטרי (חלש) אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b] }[/math])

דוגמאות:

• יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
• יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי
• יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
• יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
• יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
• יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
• יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי

יחסי שקילות

הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא

1. רפלקסיבי
2. סימטרי
3. טרנזיטיבי

דוגמא: תהא [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3,4,5,6\} }[/math]. נגדיר תת הקבוצות [math]\displaystyle{ A_1=\{1,3\},A_2=\{2,4,5\},A_3=\{6\} }[/math]

נגדיר יחס R על A כך [math]\displaystyle{ \exist 1\leq i \leq 3 : x,y\in A_i \Leftrightarrow xRy }[/math]

טענה R יחס שקילות

הוכחה:

1. רפלקסיביות - נניח [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] לכן x שייך ל [math]\displaystyle{ A_i }[/math] עבור i מסוים (שכן האיחוד שלהן שווה לA) ולכן [math]\displaystyle{ (x,x)\in R }[/math].

2. סימטריות - נניח [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x,y\in A_i }[/math] עבור i מסוים, מכיוון שאין משמעות לסדר שייכות לקבוצה, נובע שגם [math]\displaystyle{ (y,x)\in R }[/math].

3. טרנזיטיביות - נניח [math]\displaystyle{ [(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R] }[/math] אזי קיימים i,j כך ש [math]\displaystyle{ x,y\in Aֹ_i }[/math] וגם [math]\displaystyle{ y,z\in A_j }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ y\in A_i\cap A_j }[/math]. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות ש[math]\displaystyle{ A_i=A_j }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x,y,z\in A_i }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (x,z)\in R }[/math] כפי שרצינו.

הגדרה: תהא A קבוצה. חלוקה של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] כך ש:

• [math]\displaystyle{ \forall i\in I: A_i \neq \emptyset }[/math]
• [math]\displaystyle{ \cup _{i\in I} A_i =A }[/math] כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
• הן זרות זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק ([math]\displaystyle{ \forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi }[/math])

כפי שראינו בדוגמה הקודמת חלוקה של A מגדירה יחס שקילות (אמנם זה "רק" דוגמא אבל ניתן להוכיח את המקרה הכללי באותו אופן).

הערה: אפשר להציג את היחס על [math]\displaystyle{ P(X) }[/math] שמוגדר ע"י [math]\displaystyle{ A\sim B\iff A\cap S=B\cap S }[/math] (כאשר S ת"ק קבועה), אם כי זה נעשה בשיעורי הבית.

תרגיל

נגדיר על [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ארבעה יחסים [math]\displaystyle{ Q,R,S,T }[/math] באופן הבא: לכל [math]\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R} }[/math]:

[math]\displaystyle{ xQy\iff x-y=17 }[/math]

[math]\displaystyle{ xRy\iff \exists a\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a }[/math]

[math]\displaystyle{ xSy\iff \exists a\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a }[/math].

[math]\displaystyle{ xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a }[/math].

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

פתרון

[math]\displaystyle{ Q }[/math] לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] (ובפרט קיים לפחות אחד) [math]\displaystyle{ x-x=0\neq 17 }[/math].

[math]\displaystyle{ R }[/math] אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

[math]\displaystyle{ S }[/math] לא טרנזיטיבי: [math]\displaystyle{ 2S6\land 6S3 }[/math] אבל לא נכון ש-[math]\displaystyle{ 2S3 }[/math].

[math]\displaystyle{ T }[/math] כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math], ניקח [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x-x=0=a }[/math].

סימטריות: [math]\displaystyle{ xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx }[/math].

טרנזיטיביות: [math]\displaystyle{ xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z} }[/math].

חלוקות ומחלקות שקילות

הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

1. לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מוגדרת מחלקת השקילות של x להיות [math]\displaystyle{ \bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} }[/math]
2. קבוצת המנה מוגדרת [math]\displaystyle{ A/R := \{ [x]_R | x\in A\} }[/math]

למשל, בדוגמא הראשונה [math]\displaystyle{ A_1,A_2,A_3 }[/math] הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא [math]\displaystyle{ A/R=\{A_1,A_2,A_3\} }[/math]

בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא [math]\displaystyle{ [0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \} }[/math] וקבוצת המנה היא [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\} }[/math] (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי

1. לכל [math]\displaystyle{ x,y\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [x]=[y] }[/math] או [math]\displaystyle{ [x]\cap [y] =\phi }[/math] (כלומר מחלקות השקילות זרות)
2. [math]\displaystyle{ A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x] }[/math] כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)

הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A

מסקנה: תהא A קבוצה אזי יש התאמה {[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס שקילות על A } [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] {חלוקות של A}

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

תרגיל

תהי [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3\} }[/math] קבוצה. השלם את היחסים הבאים מעליה על מנת שיקיימו את התכונות הנדרשות בשאלה (השלם - כלומר הוסף זוגות סדורים הכרחיים):

• השלם את [math]\displaystyle{ R=\{(1,2)\} }[/math] להיות יחס סימטרי וטרנזיטיבי. האם אחרי ההשלמה קיבלת יחס שקילות?
• השלם את הקבוצה הריקה ליחס שקילות. איך קוראים ליחס שקיבלת? מהן מחלקות השקילות?

פתרון

1. [math]\displaystyle{ R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\} }[/math] זה אינו יחס שקילות מכיוון שאינו רפלקסיבי - (3,3) חסר.

2. [math]\displaystyle{ R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} }[/math]. זהו יחס השיוויון, מחלקות השקילות שלו הינן [1],[2],[3].

דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים

נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\times \mathbb{N} }[/math]. נסתכל על ההתאמה [math]\displaystyle{ (a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b} }[/math] האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד?

תשובה: לא. למשל, [math]\displaystyle{ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ (2,6)\neq (1,3) }[/math]. כלומר, המכפלה הקרטזית מכילה חזרות מיותרות לעומת הרציונאליים.

נרצה איפוא, להגדיר יחס שקילות על הזוגות הסדורים של מספרים שלמים כך שכל שני שברים שקולים יהיו ביחס. שימו לב שאנו מגדירים יחס על קבוצת זוגות סדורים, ולכן האיברים ביחס הינם זוגות סדורים של זוגות סדורים. נגדיר [math]\displaystyle{ R }[/math] על [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\times \mathbb{N} }[/math] ע"י

[math]\displaystyle{ (x,y)R(z,w) \iff xw=zy }[/math] (כלומר אם מתקיים עבור השברים [math]\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{z}{w} }[/math])

נוכיח רק טרנזיטיביות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y)R(z,w), (z,w)R(a,b) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ xw=zy, zb=aw }[/math] (צ"ל [math]\displaystyle{ xb=ay }[/math])

כייון ש [math]\displaystyle{ w \not=0 }[/math] נקבל כי [math]\displaystyle{ x=\frac{zy}{w} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ xb=\frac{zby}{w}=\frac{awy}{w}=ay }[/math] כנדרש.

ומי שלא רוצה להשתמש בחילוק (אבל כן מתיר לצמצם משיוויון איבר שנמצא בשני הצדדים, כי ניתן להשתכנע בכך מהגדרת כפל על טבעיים): נשים לב שמתקיים: [math]\displaystyle{ xwb=zyb=yaw }[/math], ולכן נקבל [math]\displaystyle{ xb=ay }[/math] כנדרש.

מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של <[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\times \mathbb{N} }[/math] והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).

שאלה ממבחן

א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי [math]\displaystyle{ \{R_i\}_{i\in I} }[/math] משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי [math]\displaystyle{ R=\cap_{i\in I}R_i }[/math] הינו יחס שקילויות על A.

ב. נסמן [math]\displaystyle{ R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\} }[/math]. מהם [math]\displaystyle{ R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n }[/math]? מהן קבוצות המנה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2 }[/math]?

פתרון

א. רפלקסיביות: מאחר ו [math]\displaystyle{ \forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i }[/math] נובע ש [math]\displaystyle{ \forall a\in A: (a,a)\in R }[/math].

סימטריות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(x,y)\in R_i }[/math] ולכן נובע מסמטריות היחסים ש [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(y,x)\in R_i }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (y,x)\in R }[/math].

טרנזיטיביות: ממש אותו דבר...

ב. [math]\displaystyle{ R_1 }[/math] הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

[math]\displaystyle{ R_2 }[/math] הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R_1 }[/math] הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R_2 }[/math] מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R }[/math] הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.