'''הגדרה''' מחלקות השקילות של יחס זה נקראים רכיבי קשירות.
הגדרה: G יקרא קשיר אם בין כל שני קודקודים יש מסלול. זה שקול לכך שיש רכיב קשירות או באופן שקול <math>\forall v\in V:[v]_{\to}=V</math>
'''דוגמא''': ציור חביב לפי דעת המתרגל.
=תרגילים נוספים=
==תרגיל==נניח כ בגרף מתקיים <math>\forall v\in V : \operatorname{degre}(v)\geq 2</math> אז בגרף יש מעגל. '''תרגילפתרון''': נבחר <math>v_0\in V</math> ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ <math>v\to u</math> הצעד הבא לא יהיה <math>u\to v</math> (זה אפשרי כי כל קדקוד יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל! ==תרגיל==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף, ונסמן <math>\delta_G=\underset{v\in V}{\min}\{deg(V)\}</math> את הדרגה המינימלית בגרף. נניח <math>\delta_G\geq 1</math>. הוכיחו: א. יש בגרף מסלול פשוט מאורך לפחות <math>\delta_G</math>. ב. יש בגרף מעגל פשוט מאורך לפחות <math>\delta_G+1</math>. ===פתרון=== א. יהי <math>(v_1,v_2,\dots ,v_k)</math> מסלול פשוט מאורך מקסימלי. מתקיים: <math>\deg(v_1)\geq \delta_G</math>. טענה: כל שכניו נמצאים במסלול. הוכחה: אחרת אפשר להוסיף שכן שלא במסלול לתחילת המסלול ולקבל מסלול פשוט ארוך יותר בסתירה למקסימליות. לכן אורך המסלול לפחות כמו <math>\delta_G</math>. ב. יהי <math>(v_1,v_2,\dots ,v_k)</math> מסלול פשוט מאורך מקסימלי. ראינו שכל שכני הראשון במסלול, ולכן מספיק לקחת את המסלול עד שמגיעים לאחרון השכנים, ואז לחזור חזרה ל <math>v_1</math> ולקבל מעגל פשוט מהאורך המתאים. ==תרגיל==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף בעל <math>n\ge 3</math> קדקודים. ו-<math>m \ge n </math> צלעות. אזי בגרף יש מעגל.
'''פתרון''': באינדוקציה.
עבור <math>n=3</math> הגרף הוא בהכרח משולש (לא יכולות להיות יותר מ-4 3 צלעות עבור 3 קדקודים) ואכן יש מעגל.
נניח כי הטכנה הטענה נכונה עבור <math>n</math> ונוכיח עבור <math>n+1</math>. יהי <math>G</math> בעל <math>n+1>3</math> קדקודים ו- <math> m\ge n+1</math> צלעות.
''אפשרות 0'' - קיים קדקוד מדרגה 0 - כלומר אין לו שכנים. אז נביט בגרף בלי הקדקוד הזה, ומהנחת האינדוקציה נקבל שיש בו מעגל; זהו מעגל גם בגרף המקורי.
''אפשרות 1'': קיים <math>v\in V</math> מדרגה 1. נוריד את הקדקוד הזה (ואת הצלע שחלה בו) ונקבל גרף חדש עם <math>n</math> קדקודים ו<math>m-1 \ge n </math> צלעות. לפי הנחת האינדוקציה קיים בו מעגל. מעגל זה קיים גם בגרף בו התחלנו.
''אפשרות 2'': לכל קדקוד דרגה גדולה שווה 2. נבחר <math>v_0\in V</math> ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ <math>v\to u</math> הצעד הבא לא יהיה <math>u\to v</math> (זה אפשרי כי כל קדקוד ולפי תרגיל קודם יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל!
==תרגיל==
יהי <math>G</math> גרף מסדר <math>n>1</math>. הוכח שקיימים 2 קדקודים בעלי אותה דרגה.
'''תרגיל''': יהי <math>G</math> גרף מסדר <math>n>1</math>. הוכח שקיימים 2 קדקודים בעלי אותה דרגה. '''פתרון:''' נביט בפונקציית הדרגה <math>\operatorname{deg}:V \to \{0,1,\dots,n-1\}</math> השולחת כל איבר אל הדרגה שלו: <math>v\mapsto \operatorname{deg}(v)</math>; כדי להבין את התמונה של הפונקציה, נשים לב שיש שני מקרים:
#אם קיים קדקוד מדרגה <math>n-1</math>, אז הוא מחובר לכולם ולכן אין קדקוד מדרגה אפס. במקרה זה מתקיים
<math>\operatorname{Im}(f) \subseteq \{1,\dots n-1\} </math>.
#אם אין קדקוד מדרגה <math>n-1</math> אז<math>\operatorname{Im}(f) \subseteq \{0,1,\dots n-2\} </math>.
בשני המקרים קיבלנו כי <math>|\operatorname{dom}(f)|=|V|=n, |\operatorname{Im}(f)|\le n-1</math> ולכן <math>f</math> אינה חח"ע.
'''==תרגיל''': ==יהיה <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט עם 100 קדקודים כך שדרגת כל קדקוד לפחות 50. הוכח כי <math>G</math> קשיר.
'''פתרון''': יהיו <math>v,u\in V</math> . צריך להוכיח כי <math>[v]=[u]</math> (כך נסמן את רכיב הקשירות).נניח כי הם שונים , אזי ב<math>|[v]|,|[u]|\geq 5051</math> והם זרים( הקודוקד + לפחות 50 שכנים). לכן <math>[v]=[u]=50</math> אבל ברכיב אלו הם שני מרכיבי קשירות שיש בו 50 שונים ולכן הם זרים, ומכך שבגרף יש לכל הפחות 102 קדקודים דרגת כל קדקוד קטנה שווה ל 49. , סתירה.
'''הערה:''' אפשר להכליל את התרגיל, ולהפוך אותו לתרגיל על קוטר של גרף: יהי <math>G=(V,E)</math> גרף עם <math>|V|=n</math>. הוכיחו שאם דרגת כל קודקוד היא לפחות <math>\frac{n-1}{2}</math> אז <math>diam(G)\leq 2</math>, ובפרט <math>G</math> קשיר.
'''תרגיל'''הוכחה: יהי גרף לא מכוון יהיו <math>G=(v,u\in V</math>. אם הם שכנים אז <math>d(v,Eu)=1</math>. הוכח כי אם לא, אז נניח בשלילה שאין להם שכן משותף ונקבל ש- <math>\forall Gamma(v)\in V : cap \text{degree}Gamma(u)=\varnothing</math>, ובנוסף <math>|\Gamma(v)|,|\Gamma(u)|\geq \frac{n-1}{2}</math> אז , ולכן יש בגרף לפחות <math>|\Gamma(v)\cup \Gamma(u)\cup \{v,u\}|=2\cdot \frac{n-1}{2}+2=n+1</math> קודקודים (נובע מכך שהאיחוד זר) בסתירה. לכן יש מעגללהם שכן משותף ולכן <math>d(v,u)=2</math>. בסה"כ נקבל <math>\forall v,u:d(v,u)\leq 2</math> ולכן <math>diam(G)\leq 2</math>.
'''פתרון''': בגרף יש יותר מ 2 קדקודים ==תרגיל==יהי <math>G=(אחרת לא יהיה להם 2 שכניםV,E).לפי משפט לחיצת הידיים מתקיים </math> גרף ללא מעגלים עם <math>2|EV|= \sum_{v\in V}\text{degree}(v)\geq \sum_{v2</math>. הוכח כי קיימים <math>v_1,v_2\in V}2 =2|V|</math>ולכן מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקדקודים. לפי משפט קודם קיים מעגל בגרףכך שדרגתם לכל היותר 1.
'''פתרון''': לפי תרגיל קודם קיים <math>v\in V</math> כך שדרגתו לכל היותר 1 (אחרת לכל הקדקודים יש דרגה לפחות 2 ואז יש מעגל לפי תרגיל קודם).
'''תרגיל''': יהי גרף לא מכוון נמשיך באינדוקציה על <math>G=(V,E)n</math> ללא מעגלים עם <math>|V|\geq 2</math>. הוכח כי קיימים <math>v_1,v_2\in V</math> כך שדרגתם לכל היותר 1מספר הקדקודים בגרף.
'''פתרון''': לפי תרגיל קודם קיים אם <math>v\in Vn=2</math> כך שדרגתו לכל היותר 1 (אחרת לכל הקדקודים יש דרגה לפחות אזי או שהגרף הוא 2 ואז יש מעגל לפי תרגיל קודםנקודות ללא צלעות או 2 נקודות המחוברות בצלע. סתירה!)בכל מקרה 2 הנקודות של הגרף הן מדרגה קטנה שווה ל-1.
נמשיך באינדוקציה על כעת נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n\geq 2</math>. נוכיח את הטענה עבור <math>n+1</math> מספר הקדקודים בגרף.
נבחר את הקדקוד <math>v\in V</math> שדרגתו לכל היותר 1. נוריד אותו ואת הצלע שחלה בו (אם קיימת), ונקבל גרף עם <math>n=</math> קדקודים. לפי הנחת האינדוקציה יש בו 2קדקודים<math>v_1,v_2</math> בעלי דרגה 1 לכל היותר. כעת נשוב לגרף המקורי (הכולל את <math>v</math> שהשמטנו). יש מספר מקרים:# אם <math>v</math> שכן של <math>v_1</math> אזי או שהגרף הוא 2 נקודות לא צלעות או 2 נקודות המחוברות בצלע<math>v,v_2</math> בעלי דרגה לכל היותר 1. בכל מקרה 2 הנקודות # אם <math>v</math> שכן של הגרף הם מדרגה קטנה שווה ל<math>v_2</math> אזי <math>v,v_1</math> בעלי דרגה לכל היותר 1. # אם <math>v</math> שכן של <math>v_1,v_2</math> -סתירה כי הדרגה של <math>v</math> היא 1 לכל היותר.# אם <math>v</math> לא שכן של <math>v_1,v_2</math> אזי <math>v,v_1,v_2</math> בעלי דרגה לכל היותר 1.
כעת נניח בכל מקרה קיבלנו כי הטענה נכונה עבור קיימים 2 קדקודים בעלי דרגה 1 לכל היותר! ==תרגיל==הוכח/הפרך:# אם מתקיים <math>n\geq forall v \in V: \operatorname{deg}(v)\ge2</math>, אז <math>G</math> קשיר.# קיים גרף בן שישה קדקודים 1,2,3,4,4,5.# קיים גרף בן שישה קדקודים 1,2,3,4,5,5. '''פתרון''':# לא נכון, למשל שני משולשים מופרדים.# לא נכון, כי סכום הדרגות אי-זוגי, בסתירה למשפט לחיצת הידיים.# הפעם משפט לחיצת הידיים לא נכשל, אך זה עדיין לא נכון - אילו היו שני קדקודים מדרגה 5, הר שכל הקדקודים היו מחוברים אל שניהם, ולכן אין קדקוד מדרגה 1. ==תרגיל==יהא <math>G=(V,E)</math>גרף פשוט סופי לא מכוון. נוכיח נניח כי <math>V=V_1\cup V_2</math> איחוד זר (כלומר החיתוך <math>V_1\cap V_2=\emptyset</math>. עוד נניח כי קיים <math>v_i\in V_i</math> כך שקיימת קשת <math>(v_1,v_2)\in E</math> והיא הקשת היחידה בין <math>V_1</math> ל <math>V_2</math>. הוכיחו שקיים קודקוד בעל דרגה אי זוגית. פתרון: נסתכל על תת הגרף <math>V_1</math> אם <math>v_1</math> בעל דרגה זוגית בו אז הוא יהיה בעל דרגה אי זוגית ב V. אחרת דרגתו ב V1 אי זוגית ולכן לפי משפט לחיצת הידיים שסכום הדרגות זוגיות, קיים עוד קודוד בעל דרגה אי זוגית ב V1. כיוון שהקשת היחידה בין <math>V_1</math> ל <math>V_2</math> היא <math>(v_1,v_2)\in E</math> נקבל כי קודקוד זה בעל דרגה אי זוגית גם ב G. ==תרגיל==יהא <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט סופי לא מכוון קשיר בעל מעגל יחיד עם <math>3\leq |V|</math>. הוכיחו כי <math>|E|=|V|</math> פתרון: נסמן את הטענה עבור המעגל היחידי ב G ב <math>C=(v_0,\dots,v_n)</math>. טענה: <math>|V|\leq |E|</math> הוכחה: נסתכל על הגרף <math>G'=(V,E\setminus \{v_{n+-1},v_n\})</math> הוא בעל <math>|E|-1</math> קשתות אך עדיין קשיר (כי אם יש מסלול המערב את הקשת שהורדה ניתן להחליף אותה <math>C=(v_0,\dots,v_{n-1})</math>.) לכן לפי הרצאה יש לו לפחות <math>|V|-1</math> קשתות ולכן <math>|V|-1\leq |E|-1</math> ואחרי העברת אגפים נקבל את המבוקש. טענה: <math>|E|\leq |V|</math> הוכחה: נניח בשלילה כי <math>|V|+1\leq |E|</math>
נבחר את הקדקוד נסתכל על הגרף <math>vG'=(V,E\setminus \in V{v_{n-1},v_n\})</math> שדרגתו לכל היותר 1. נוריד אותו ואת הצלע שחלה בו אזי נקבל גרף עם הוא בעל <math>n|V| \leq|E|-1</math> קדקודים. קשתות אך הרסנו את המעגל היחידי שהיה ב G אבל לפי הנחת האינדוקציה תרגיל ממקודם אם מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקודקודים יש בו 2 קדקודים<math>v_1,v_2</math> בעלי דרגה 1 לכל היותרמעגל. כעת נשוב לגרף המקורי (הכולל את <math>v</math> שהשמטנו)סתירה.
אם <math>v</math> שכן ==תרגיל==א. מהו הקוטר המקסימלי של גרף קשיר עם <math>v_1n</math> אזי <math>v,v_2</math> בעלי דרגה לכל היותר 1. קודקודים?
אם <math>v</math> שכן ב. מהו המספר המינימלי של קשתות בגרף עם <math>v_2n</math> אזי <math>v,v_1</math> בעלי דרגה לכל היותר 1. קודקודים וקוטר 2?
אם <math>v</math> שכן של <math>v_1,v_2</math> - סתירה כי הדרגה של <math>v</math> היא 1 לכל היותר.'''פתרון:'''
אם א. <math>vn-1</math> . לא שכן של יכול להיות יותר כי הקוטר מוגדר כמרחק המקסימלי בין קודקודים, ומרחק הוא אורך המסלול הקצר, ומסלול קצר לא מכיל מעגלים, ולכן מכיל לכל היותר <math>v_1,v_2n</math> אזי קודקודים, ולכן לכל היותר <math>v,v_1,v_2n-1</math> בעלי דרגה לכל היותר קשתות. גרף קו הוא עם קוטר <math>n-1</math> כי זה המרחק בין הימני ביותר לשמאלי ביותר, לכן זה הקוטר המקסימלי.
בכל מקרה קיבלנו ב. <math>n-1</math>. לא יכול להיות פחות כי אז הגרף לא יהיה קשיר וקטרו יהיה אינסוף ולא 2. גרף כוכב (יש קודקוד <math>u</math> המקיים <math>E=\{\{u,v\}:u\neq v\}</math> כלומר, הוא מחובר לכולם ואין עוד קשתות) הוא עם <math>n-1</math> קשתות וקוטר 2, כי קיימים המרחק בין שני קודקודים שאינם <math>u</math> הוא 2 קדקודים בעלי דרגה (ואם אחד מהם הוא <math>u</math> אז 1 לכל היותר!).
