הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4"
(←גזירות) |
(←תרגיל) |
||
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]]. | חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]]. | ||
− | == | + | ==פונקציות== |
− | כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד. | + | ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>, כמו למשל <math>f(z)=Re(z)</math> וכדו'. |
+ | |||
+ | הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד. | ||
לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה. | לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה. | ||
שורה 10: | שורה 12: | ||
==רציפות== | ==רציפות== | ||
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>|f(z_n)-f(z_0)|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה. | הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>|f(z_n)-f(z_0)|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה. | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | הוכיחו שהפונקציה <math>f(z)=\overline{z}</math> היא רציפה. | ||
+ | |||
+ | =====פתרון===== | ||
+ | לפי הגדרה: תהי <math>z_n\to z</math>, צריך להראות ש- <math>|f(z_n)-f(z)|\to 0</math>. ואכן: <math>|f(z_n)-f(z)|=|\overline{z_n}-\overline{z}|=|\overline{z_n-z}|=|z_n-z|\to 0</math>, כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה. | ||
===משפטים=== | ===משפטים=== | ||
− | כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0. | + | כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0. |
משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות. | משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות. | ||
− | |||
− | |||
===רציפות של פונקציות בשני משתנים=== | ===רציפות של פונקציות בשני משתנים=== | ||
שורה 22: | שורה 28: | ||
====תרגיל==== | ====תרגיל==== | ||
+ | האם הפונקציות הבאות רציפות: | ||
− | + | 1. <math>f(z)=\frac{z+2\overline{z}}{z\overline{z}+2}</math> | |
− | \ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | 2. <math>f(z)=Im(z)-Re(z)i</math> | |
− | = | + | |
− | + | ||
− | + | 3. <math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math> | |
− | + | 4. <math>f(x+yi)=\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x}i</math> | |
− | = | + | 5. <math>f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y)</math> |
− | + | 6. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{|y|+5}-x\text{cis}y</math> | |
− | \frac{ | + | |
− | + | ===תרגיל=== | |
+ | הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: <math>f(z)=\begin{cases} | ||
+ | \frac{z}{\overline{z}} & z\neq0\\ | ||
+ | 1 & z=0 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
גרסה אחרונה מ־11:50, 10 בדצמבר 2019
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
פונקציות
ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות , כמו למשל
וכדו'.
הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה צריך להבין מה עושה פונקציה
. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
לדוג': ועוד כהנה וכהנה.
במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה , זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות:
ואז נקבל:
.
רציפות
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה רציפה ב
אם לכל סדרה
מתקיים:
. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
תרגיל
הוכיחו שהפונקציה היא רציפה.
פתרון
לפי הגדרה: תהי , צריך להראות ש-
. ואכן:
, כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.
משפטים
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
משפט חשוב: רציפה אם ורק אם
רציפות.
רציפות של פונקציות בשני משתנים
פונקציה רציפה בנק'
אם לכל זוג סדרות
מתקיים:
. כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.
תרגיל
האם הפונקציות הבאות רציפות:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
תרגיל
הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: