אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4

חזרה ל מערכי תרגול.

פונקציות

ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math], כמו למשל [math]\displaystyle{ f(z)=Re(z) }[/math] וכדו'.

הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math] צריך להבין מה עושה פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math]. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.

לדוג': [math]\displaystyle{ f(x,y)=\sin(x+y)-x }[/math] ועוד כהנה וכהנה.

במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2ab-ba^2i }[/math], זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: [math]\displaystyle{ U(a,b)=2ab,V(a,b)=-ba^2 }[/math] ואז נקבל: [math]\displaystyle{ f(a+bi)=U(a,b)+V(a,b)i }[/math].

רציפות

הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ z_n\to z_0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z_0)|\to 0 }[/math]. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.

תרגיל

הוכיחו שהפונקציה [math]\displaystyle{ f(z)=\overline{z} }[/math] היא רציפה.

פתרון

לפי הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ z_n\to z }[/math], צריך להראות ש- [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z)|\to 0 }[/math]. ואכן: [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z)|=|\overline{z_n}-\overline{z}|=|\overline{z_n-z}|=|z_n-z|\to 0 }[/math], כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.

משפטים

כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.

משפט חשוב: [math]\displaystyle{ f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b) }[/math] רציפה אם ורק אם [math]\displaystyle{ U,V }[/math] רציפות.

רציפות של פונקציות בשני משתנים

פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בנק' [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אם לכל זוג סדרות [math]\displaystyle{ x_n\to x_0,y_n\to y_0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0)|\to 0 }[/math]. כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.

תרגיל

האם הפונקציות הבאות רציפות:

1. [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{z+2\overline{z}}{z\overline{z}+2} }[/math]

2. [math]\displaystyle{ f(z)=Im(z)-Re(z)i }[/math]

3. [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1} }[/math]

4. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x}i }[/math]

5. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y) }[/math]

6. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{|y|+5}-x\text{cis}y }[/math]

תרגיל

הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: [math]\displaystyle{ f(z)=\begin{cases} \frac{z}{\overline{z}} & z\neq0\\ 1 & z=0 \end{cases} }[/math]