הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4"
(←רציפות של פונקציות בשני משתנים) |
(←תרגיל) |
||
שורה 44: | שורה 44: | ||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: <math>f(z)=\begin{cases} | הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: <math>f(z)=\begin{cases} | ||
− | \frac{z}{\overline{z}}\\ | + | \frac{z}{\overline{z}} & z\neq0\\ |
− | 1 | + | 1 & z=0 |
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> |
גרסה אחרונה מ־11:50, 10 בדצמבר 2019
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
פונקציות
ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות , כמו למשל וכדו'.
הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה צריך להבין מה עושה פונקציה . פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
לדוג': ועוד כהנה וכהנה.
במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה , זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: ואז נקבל: .
רציפות
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה רציפה ב אם לכל סדרה מתקיים: . פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
תרגיל
הוכיחו שהפונקציה היא רציפה.
פתרון
לפי הגדרה: תהי , צריך להראות ש- . ואכן: , כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.
משפטים
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
משפט חשוב: רציפה אם ורק אם רציפות.
רציפות של פונקציות בשני משתנים
פונקציה רציפה בנק' אם לכל זוג סדרות מתקיים: . כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.
תרגיל
האם הפונקציות הבאות רציפות:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
תרגיל
הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: