חדוא 2 - ארז שיינר

88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2

תקציר ההרצאות

פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים

• הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי [math]\displaystyle{ F'=f }[/math]

• האינטגרל הלא מסויים [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] מסמן פונקציה קדומה של f.

• תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל[math]\displaystyle{ \{F+c|c\in\mathbb{R}\} }[/math]

• אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

שיטות למציאת קדומה

• תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
  • [math]\displaystyle{ \int (cf) = c \int f }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \int (f+g) = \int f + \int g }[/math]

אינטגרציה בחלקים

[math]\displaystyle{ \int f'g = fg - \int fg' }[/math]

פונקציה רציונאלית

• הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

• פירוק לשברים חלקיים

• חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
  • נסמן [math]\displaystyle{ I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt }[/math]
  • אזי [math]\displaystyle{ I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n }[/math]

כאשר תנאי ההתחלה הוא [math]\displaystyle{ I_1=\arctan(t) }[/math]