שינויים
/* הגרסה החזקה של הלמה של צורן */
# הטענה כמובן אינה נכונה אם <math>X</math> ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה <math>X</math>; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה.
# אם <math>X</math> קבוצה סדורה לינארית, טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום ש-<math>X</math> עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של <math>X</math> אינו לינארי.
# במקרה שהקבוצה הסדורה <math>X</math> סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math>. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של <math>X</math>. כיון שהקבוצה <math>X</math> סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי.
'''מסקנה'''. אם <math>\max\{|A|,|B|\}</math> עוצמה אינסופית, אז <math>\ |A|\cdot |B| = \max\{|A|,|B|\}</math>.
'''הוכחה'''. נניח ש-<math>\ |A|\leq |B|</math>; . לפי ההנחה <math>|B| </math> אינסופית, ולכן <math>\ |B| = 1\cdot |B| \leq |A|\cdot |B| \leq |B| \cdot |B| = |B|</math>.
'''מסקנה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות A,B מתקיים <math>\ |A| + |B| = \max\{|A|,|B|\}</math>.
'''הוכחה'''. נניח ש-<math>|A|\ leq |B|</math>. \max\{אז <math>|AB|</math> אינסופית,ולכן <math>|B|\} \leq |A| + |B| \leq = 2 \max\{|A|,|B|\} = \max\{|A|2,|B|\}=|B|</math>.
=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===
=== הגרסה החזקה של הלמה של צורן ===
'''הלמה של צורן''' (גרסה חזקה). תהי X קבוצה סדורה היטב לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימלי.
גרסה זו חזקה מן הקודמת, משום שהפעם אנו מסתפקים בהנחה שיש חסם מלעיל לשרשראות שהן סדורות היטב, ולא דורשים את התנאי הזה לכל השרשראות.
