מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/מבחן דמה: הבדלים בין גרסאות בדף
(←6) |
(←1) |
||
| (8 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==הוראות== | |||
פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות. | פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות. | ||
| שורה 15: | שורה 17: | ||
::<math>f\Big( g(x)\Big) + x > |x-1|</math> | ::<math>f\Big( g(x)\Big) + x > |x-1|</math> | ||
*[[מדיה:2020MehinaEx1Sol.pdf|פתרון לשאלה זו]] | |||
==2== | ==2== | ||
| שורה 29: | שורה 33: | ||
==3== | ==3== | ||
מצא את נקודת החיתוך | מצא את נקודת החיתוך בין הישר המאונך למישור שמשוואתו <math>x-y+2z=3</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>, לבין המישור. | ||
==4== | ==4== | ||
הוכח כי לכל n מתקיים: | הוכח כי לכל <math>n\geq 2</math> מתקיים: | ||
::<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math> | ::<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math> | ||
| שורה 44: | שורה 45: | ||
::<math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math> | ::<math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}\mathrm dx</math> | ||
רמז: הציבו <math>t=(1+x)^{1/6}</math> | רמז: הציבו <math>t=(1+x)^{1/6}</math> | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
| שורה 61: | שורה 61: | ||
:<math>\forall x_1\in \mathbb{R}\forall x_2\in\mathbb{R}:\Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\rightarrow (x_1=x_2)</math> | :<math>\forall x_1\in \mathbb{R}\forall x_2\in\mathbb{R}:\Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\rightarrow (x_1=x_2)</math> | ||
===א=== | |||
נסח תנאי שקול לכך ש f פונקציה ש'''אינה''' חד-חד-ערכית. | |||
===ב=== | |||
קבע עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות אם היא חד-חד-ערכית. הוכח את קביעתך: | קבע עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות אם היא חד-חד-ערכית. הוכח את קביעתך: | ||
| שורה 70: | שורה 73: | ||
*<math>h(x)=sin(x)</math> | *<math>h(x)=sin(x)</math> | ||
==7== | |||
===א=== | |||
הוכח כי לכל שלוש קבוצות A,B,C מתקיים | |||
::<math>A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> | |||
===ב=== | |||
הוכח כי לכל ארבע קבוצות A,B,C,D מתקיים | |||
::<math>(A\backslash B)\cap (C\backslash D)\subseteq (A\cap C)\backslash (B\cap D)</math> | |||
גרסה אחרונה מ־14:01, 8 בספטמבר 2020
הוראות
פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות.
1
נגדיר שתי פונקציות
- [math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x & x\gt 1 \\ 0 & x=1 \\ |x+1| & x\lt 1\end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\gt 2 \\ 0 & x=2 \\ g(x) & x\lt 2\end{cases} }[/math]
מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
- [math]\displaystyle{ f\Big( g(x)\Big) + x \gt |x-1| }[/math]
2
א
מצא את כל הפתרונות למשוואה
- [math]\displaystyle{ z^4=2-2i }[/math]
ב
הוכח כי [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]
3
מצא את נקודת החיתוך בין הישר המאונך למישור שמשוואתו [math]\displaystyle{ x-y+2z=3 }[/math] ועובר בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math], לבין המישור.
4
הוכח כי לכל [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math] מתקיים:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\lt \frac{n-1}{n} }[/math]
5
א
פתרו את האינטגרל הבא
- [math]\displaystyle{ \int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}\mathrm dx }[/math]
רמז: הציבו [math]\displaystyle{ t=(1+x)^{1/6} }[/math]
ב
פתרו את האינטגרל הבא
- [math]\displaystyle{ \int ln(x)dx }[/math]
6
הגדרה: פונקציה f נקראת חד-חד-ערכית אם מתקיים עבורה התנאי הבא:
- [math]\displaystyle{ \forall x_1\in \mathbb{R}\forall x_2\in\mathbb{R}:\Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\rightarrow (x_1=x_2) }[/math]
א
נסח תנאי שקול לכך ש f פונקציה שאינה חד-חד-ערכית.
ב
קבע עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות אם היא חד-חד-ערכית. הוכח את קביעתך:
- [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ g(x)=x+1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ h(x)=sin(x) }[/math]
7
א
הוכח כי לכל שלוש קבוצות A,B,C מתקיים
- [math]\displaystyle{ A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) }[/math]
ב
הוכח כי לכל ארבע קבוצות A,B,C,D מתקיים
- [math]\displaystyle{ (A\backslash B)\cap (C\backslash D)\subseteq (A\cap C)\backslash (B\cap D) }[/math]