הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←חסמים) |
(←פרק 2 - סדרות) |
||
שורה 59: | שורה 59: | ||
==פרק 2 - סדרות== | ==פרק 2 - סדרות== | ||
+ | |||
+ | *הגדרת הגבול של סדרה: | ||
+ | *תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ויהי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math>. | ||
+ | *<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם: | ||
+ | **לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר: | ||
+ | **לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>N\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>N</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> | ||
+ | |||
+ | |||
<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash> | <videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>N\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math> | ||
+ | *נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *טענה: תהי <math>a_n\to \infty</math> אזי <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math> | ||
+ | *טענה: תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>\frac{1}{|a_n|}\to\infty</math> | ||
+ | |||
<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash> | <videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash> |
גרסה מ־12:41, 15 באוקטובר 2020
תוכן עניינים
מבחנים ופתרונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים כך ש .
- במילים פשוטות, אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חסמים
- תהי אזי:
- נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלעיל של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלרע של A אם לכל מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
פרק 2 - סדרות
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית ויהי מספר ממשי .
- הינו גבול הסדרה (מסומן או ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק קיים מקום כך שאחריו לכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם לכל קיים כך שלכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם
- טענה: תהי אזי
- טענה: תהי אזי
פרק 3 - טורים
פרק 4 - פונקציות ורציפות
פרק 5 - גזירות