הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←חסמים) |
(←חסמים) |
||
שורה 57: | שורה 57: | ||
− | *דוגמא: תהיינה <math>\emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R}</math> כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי <math>\sup(A)\leq\sup(B)</math> | + | *דוגמא: תהיינה <math>\emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R}</math> חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי <math>\sup(A)\leq\sup(B)</math> |
גרסה מ־12:44, 15 באוקטובר 2020
תוכן עניינים
מבחנים ופתרונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים
, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים
כך ש
.
- במילים פשוטות,
אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חסמים
- תהי
אזי:
נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא חסם מלעיל של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא חסם מלרע של A אם לכל
מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה
אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי
ויהי
אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר
קיים מספר
כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר
קיים מספר
כך ש
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר
- דוגמא: תהיינה
חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
פרק 2 - סדרות
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית
ויהי מספר ממשי
.
הינו גבול הסדרה
(מסומן
או
) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק
קיים מקום
כך שאחריו לכל
מתקיים כי
- נגדיר ש
אם לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים כי
- נגדיר ש
אם
- טענה: תהי
אזי
- טענה: תהי
אזי
פרק 3 - טורים
פרק 4 - פונקציות ורציפות
פרק 5 - גזירות