אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) (הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
'''הגדרה:''' הפונקציה <math>f:[-\pi,\pi]\to\C</math> תקרא ''רציפה למקוטעין'' אם: | '''הגדרה:''' הפונקציה <math>f:[-\pi,\pi]\to\C</math> תקרא ''רציפה למקוטעין'' אם: | ||
:#ל־<math>f</math> יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות. | :#ל־<math>f</math> יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות. | ||
:#בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות | :#בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדדיים. כלומר, אם <math>x_0</math> אי־רציפות אזי <math>\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)</math> קיימים במובן הצר. | ||
{{פס|{{הערה|הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.}}}} | {{פס|{{הערה|הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.}}}} | ||
| שורה 9: | שורה 9: | ||
#סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין. | #סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין. | ||
#הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין. | #הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין. | ||
לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־<math>E</math>. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־<math>\langle f,g\rangle=\ | לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־<math>E</math>. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־<math>\displaystyle\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx</math>. | ||
=== משפט === | ===משפט=== | ||
סדרת הפונקציות <math>\left\{\ | סדרת הפונקציות <math>\left\{\frac{1}{\sqrt2},\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\ldots\right\}</math> היא מערכת אורתונורמלית ב־<math>E</math>. | ||
==== הוכחה ==== | ====הוכחה==== | ||
נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג | נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג אברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל אבר היא 1: | ||
:<math>\begin{align}\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\sin(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\sin(nx)dx=\left[-\frac{1}{\sqrt2\pi n}\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\cos(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\cos(nx)dx=\left[\frac{1}{\sqrt2\pi n}\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\bigl\langle\sin(mx),\cos(nx)\bigr\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}{2}dx\\&=-\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{-\pi}^\pi=0\end{align}</math> | |||
הערה: נעזרנו | הערה: נעזרנו בזהות <math>\sin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math>. דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים: | ||
דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים: <math>\int\sin(mx)\cos(nx) | :<math>\int\sin(mx)\cos(nx)dx=\left[\dfrac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{-\pi}^\pi=0</math> | ||
עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית. | |||
באותו אופן ניתן להראות | באותו אופן ניתן להראות כי <math>\langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0</math>. | ||
עתה נראה | עתה נראה שהנורמה של כל אבר היא 1: | ||
:<math>\begin{align}\left\|\frac{1}{\sqrt2}\right\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{dx}{\sqrt{2}^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|\sin(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}{2}dx=\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}{2}dx=1\end{align}</math> | |||
== מערכת סגורה == | ==מערכת סגורה== | ||
'''הגדרה:''' תהי <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math>. המערכת תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם <math>\forall\mathbf u\in V:\ \ | '''הגדרה:''' תהי <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math>. המערכת תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם | ||
:<math>\forall\mathbf u\in V:\ \lim\limits_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum\limits_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math> | |||
'''מסקנה''': ניתן להציג כל <math>f</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של | '''מסקנה''': ניתן להציג כל <math>f</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו. | ||
:<math>\begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac{1}{\sqrt2}\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt2}dx\right)\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx\right)}_{b_n}\sin(nx)\\3.&\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx\right)}_{a_n}\cos(nx)\end{align}</math> | |||
לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה: | |||
:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)\\\begin{cases}\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx,&n=0,1,2,\ldots\\\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx,&n=1,2,\ldots\end{cases}</math> | |||
==טור פורייה== | |||
תהי <math>f\in E</math>. הטור שמצאנו נקרא טור פורייה של <math>f</math> ויסומן | |||
== טור פורייה == | :<math>\displaystyle f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> | ||
תהי <math>f\in E</math>. הטור | |||
=== פונקציות זוגיות ואי־זוגיות === | === פונקציות זוגיות ואי־זוגיות === | ||
'''תכונות:''' | '''תכונות:''' | ||
* מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית. | *מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית. | ||
* מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית. | *מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית. | ||
* מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית. | *מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית. | ||
==== משפט ==== | ====משפט==== | ||
תהי <math>f\in E</math>. | תהי <math>f\in E</math>. | ||
* אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\ | *אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים". | ||
* אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\ | *אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור סינוסים". | ||
==== תרגיל ==== | ====תרגיל==== | ||
מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases} | מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases}-2&:\!x<0\\1&:\!x\ge0\end{cases}</math> בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>. | ||
===== פתרון ===== | =====פתרון===== | ||
ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים | ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים | ||
ולכן <math>f(x)\ | :<math>\begin{align}a_0&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^0 -2\,dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi dx=\frac{1}{\pi}[-2x]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}[x]_0^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&:\!n\in2\Z\\\dfrac{6}{\pi n}&:\!n\in2\Z+1\end{cases}\end{align}</math> | ||
ולכן <math>f(x)\sim-\dfrac12+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{6}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)x)</math>. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האבר <math>-\frac12</math> שבהתחלה. | |||
==== תרגיל ==== | ====תרגיל==== | ||
מצא טור פורייה של <math>f(x)=x</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math>. | מצא טור פורייה של <math>f(x)=x</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math>. | ||
===== פתרון ===== | =====פתרון===== | ||
<math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים: <math>b_n=\ | <math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים: | ||
:<math>\begin{align}b_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}{n}\end{bmatrix}\\&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi+\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n}dx=\frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n}+\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^\pi=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\end{align}</math> | |||
כלומר <math>x\sim\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>. | |||
==== תרגיל ==== | ====תרגיל==== | ||
נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\ | נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\C</math> נגדיר | ||
:<math>G(a,b,c)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|dx</math> | |||
עבור אלה ערכי <math>a,b,c</math> מקבלת <math>G</math> את ערכה המינימלי? | |||
===== פתרון ===== | =====פתרון===== | ||
נשים לב | נשים לב כי <math>G(a,b,c)=\Big\|f(x)-{\color{#0000FF}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\Big\|^2</math>. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגונלי של <math>f</math> אזי מובטח לנו כי <math>G(a,b,c)</math> מקבלת את ערכה המינימלי. נפתור זאת: | ||
:<math>\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx}{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi dx}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|\cos\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)dx\end{align}</math> | |||
---- | ---- | ||
נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> | נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> ולאבר <math>x=\left\{\dfrac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. מתקיים | ||
:<math>\displaystyle\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n</math> | |||
אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא <math>\frac{16}{85}</math>. לכן <math>\|x\|_2=\frac{4}{\sqrt{85}}</math>. {{משל}} | |||
גרסה אחרונה מ־20:47, 13 בינואר 2021
פונקציה רציפה למקוטעין
הגדרה: הפונקציה [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\C }[/math] תקרא רציפה למקוטעין אם:
- ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
- בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדדיים. כלומר, אם [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אי־רציפות אזי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) }[/math] קיימים במובן הצר.
הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.
תכונות
- סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
- הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.
לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־[math]\displaystyle{ E }[/math]. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ \displaystyle\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx }[/math].
משפט
סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ \left\{\frac{1}{\sqrt2},\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\ldots\right\} }[/math] היא מערכת אורתונורמלית ב־[math]\displaystyle{ E }[/math].
הוכחה
נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג אברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל אבר היא 1:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\sin(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\sin(nx)dx=\left[-\frac{1}{\sqrt2\pi n}\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\cos(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\cos(nx)dx=\left[\frac{1}{\sqrt2\pi n}\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\bigl\langle\sin(mx),\cos(nx)\bigr\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}{2}dx\\&=-\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{-\pi}^\pi=0\end{align} }[/math]
הערה: נעזרנו בזהות [math]\displaystyle{ \sin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2} }[/math]. דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים:
- [math]\displaystyle{ \int\sin(mx)\cos(nx)dx=\left[\dfrac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{-\pi}^\pi=0 }[/math]
עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.
באותו אופן ניתן להראות כי [math]\displaystyle{ \langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0 }[/math].
עתה נראה שהנורמה של כל אבר היא 1:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\left\|\frac{1}{\sqrt2}\right\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{dx}{\sqrt{2}^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|\sin(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}{2}dx=\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}{2}dx=1\end{align} }[/math]
מערכת סגורה
הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\} }[/math] מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ [math]\displaystyle{ V }[/math]. המערכת תקרא סגורה ב־[math]\displaystyle{ V }[/math] אם
- [math]\displaystyle{ \forall\mathbf u\in V:\ \lim\limits_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum\limits_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0 }[/math]
מסקנה: ניתן להציג כל [math]\displaystyle{ f }[/math] בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.
- [math]\displaystyle{ \begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac{1}{\sqrt2}\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt2}dx\right)\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx\right)}_{b_n}\sin(nx)\\3.&\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx\right)}_{a_n}\cos(nx)\end{align} }[/math]
לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה:
- [math]\displaystyle{ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)\\\begin{cases}\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx,&n=0,1,2,\ldots\\\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx,&n=1,2,\ldots\end{cases} }[/math]
טור פורייה
תהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math]. הטור שמצאנו נקרא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ויסומן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big) }[/math]
פונקציות זוגיות ואי־זוגיות
תכונות:
- מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
- מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
- מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.
משפט
תהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית אז טור פורייה שלה הוא [math]\displaystyle{ \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) }[/math]. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
- אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx) }[/math]. טור כזה נקרא "טור סינוסים".
תרגיל
מצא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}-2&:\!x\lt 0\\1&:\!x\ge0\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].
פתרון
ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים
- [math]\displaystyle{ \begin{align}a_0&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^0 -2\,dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi dx=\frac{1}{\pi}[-2x]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}[x]_0^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&:\!n\in2\Z\\\dfrac{6}{\pi n}&:\!n\in2\Z+1\end{cases}\end{align} }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ f(x)\sim-\dfrac12+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{6}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)x) }[/math]. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האבר [math]\displaystyle{ -\frac12 }[/math] שבהתחלה.
תרגיל
מצא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].
פתרון
[math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}b_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}{n}\end{bmatrix}\\&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi+\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n}dx=\frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n}+\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^\pi=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\end{align} }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ x\sim\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) }[/math].
תרגיל
נתונה [math]\displaystyle{ f\in E[-\pi,\pi] }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\C }[/math] נגדיר
- [math]\displaystyle{ G(a,b,c)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|dx }[/math]
עבור אלה ערכי [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] מקבלת [math]\displaystyle{ G }[/math] את ערכה המינימלי?
פתרון
נשים לב כי [math]\displaystyle{ G(a,b,c)=\Big\|f(x)-{\color{#0000FF}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\Big\|^2 }[/math]. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגונלי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אזי מובטח לנו כי [math]\displaystyle{ G(a,b,c) }[/math] מקבלת את ערכה המינימלי. נפתור זאת:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx}{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi dx}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|\cos\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)dx\end{align} }[/math]
נתייחס למרחב הלינארי [math]\displaystyle{ \ell_2 }[/math] ולאבר [math]\displaystyle{ x=\left\{\dfrac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty }[/math]. מתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n }[/math]
אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא [math]\displaystyle{ \frac{16}{85} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \|x\|_2=\frac{4}{\sqrt{85}} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]