שינויים
/* שאלה 5 */
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]==שאלה 1 ==א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה.
===פתרון===
א. כיון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_n-L|<1</math> ולכן <math>L-1<a_n<L+1</math> . סה"כ:
:<math>\forall\ n:\min\{a_1,\ldots,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,\ldots,a_{n_1},L+1\}</math>
ב. '''הפרכה''': ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה <math>n</math> , ובמקומות האי-זוגיים <math>n^2</math> :
:<math>a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,\ldots</math>
'''הפרכה נוספת''':ניקח את הסדרה הבאה:<math>a_n=1,3,1,23,41,3,9\ldots</math>מתקיים:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13,43,16\frac13,3,\frac13,3,...\ldots</math>
==שאלה 2==
נניח כי <math>f </math> פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math>, גזירה ב- <math>(0,\infty)</math>. בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math>מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math>.
א. הוכיחו כי <math>f'(x)\geq ge\frac{f(x)}{x}</math> ב- <math>(0,\infty)</math>.
ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math>.
===פתרון===
א. יהי <math>x>0</math>. נפעיל את משפט לגראנגלגראנז' על הפונקציה <math>f </math> בקטע <math>[0,x]</math>. לכן קיימת נקודה <math>0<c<x</math> כך ש::<math>f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}</math>אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים::<math>f'(x)\ge f'(c)=\dfrac{f(x)}{x}</math>כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
כיון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על-ידי המונה. אבל לפי סעיף א'::<math>x\cdot f'(x)\geq -f'(cx) = \fracge x\cdot\dfrac{f(x)}{x}-f(x)=0</math>
א. <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}</math>
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה<math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n</math> , כאשר <math>a_1=1\ ,\ a_{n+1}=\sin(a_n)</math>
===פתרון===
א. נפעיל את משפט הסנדוויץ':
:<math>2012=\sqrt[n]{2012^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}\le\sqrt[n]{2012^n+2012^n+\cdots+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot2012^n}\to2012</math>
<math>L=\sin(L)</math> ולכן <math>L=0</math> .
אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה <math>x-\sin(x)==שאלה 3==קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:0</math> הקטן מ- <math>1</math> , אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין <math>0</math> ל- <math>1</math> (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.
:<math>\bigg|\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\bigg|\le\Big|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}\Big|=\left|\dfrac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\right|\to 0</math>
ד.
:<math>\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}=\dfrac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}</math>
נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>\dfrac{\frac1x-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}=\dfrac{1-x}{x\ln(x)+x-1}</math>
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>-\dfrac1{\ln(x)+1+1}\to-\frac12</math>
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.
א. האם <math>f</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?
ג. הוכח/הפרך: אם <math>g</math> גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> אזי נגזרתה <math>g'</math> חסומה ב- <math>(0,\infty)</math>
===פתרון===
א.<br>
נבחן את הנגזרת בקטע:
בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה <math>f</math> רציפה במ"ש בקטע.
ב.<br>
ניקח את שתי הסדרות <math>x_n=\dfrac1{2\pi n}</math>, ו- <math>y_n=\dfrac1{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> . קל לוודא כי:
ג.<br>
;הפרכה
<math>f(x)=\sqrt{x}</math> רציפה במ"ש בקטע כיון שב-0 יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה <math>f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}</math> אינה חסומה בסביבת <math>0</math>.
א. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)</math>
כיון שסינוס רציפה, מונוטונית באזור <math>0</math>, ושואפת שמה ל- <math>0</math>, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.
ב.<br>ברור שהחל מ- <math>n=9</math> מתקיים <math>\sqrt{n}\ge3</math> ולכן לפי כלל לופיטל, :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}\le\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\left[\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^3}\right]</math>ולכן הטור מתכנס בהחלט. ג.<br>בכל מקום זוגי <math>\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1</math> ובכל מקום אי-זוגי זה גם הגבול המקורישווה 0 לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}</math> . ד.<br>נפעיל את מבחן המנה לקבלת::<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n\big((n+1)!\big)^2}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\cdot\dfrac1{n+1}\to e\cdot0=0</math>ולכן הטור מתכנס בהחלט.