קירוב לינארי: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן " בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת. =גזירות=...") |
אין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת. | בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת. | ||
את התאורייה המלאה ניתן ללמוד בקישור הבא - [[חדוא 1 - ארז שיינר|https://calc1.math-wiki.com]] | |||
=גזירות= | =גזירות= | ||
| שורה 25: | שורה 27: | ||
===דוגמא=== | ===דוגמא=== | ||
עבור <math>f(x)=\sqrt | עבור <math>f(x)=\sqrt{x}</math> מתקיים כי הנגזרת בנקודה <math>x=9</math> היא <math>f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}</math> | ||
לכן למשל עבור <math>h=1</math> נקבל כי | לכן למשל עבור <math>h=1</math> נקבל כי | ||
| שורה 34: | שורה 36: | ||
<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math> | <math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math> | ||
=נוסחאות הגזירה= | |||
כעת נראה כיצד נוסחאות הגזירה מופיעות כאשר מחליפים בין פונקציות למשיקים שלהן (הקירוב הלינארי). | |||
כאמור, לא נעסוק בהוכחות מדוייקות. דיוק הטענות הבאות הוא ברמות קושי משתנות בין הנוסחאות השונות. | |||
==נגזרת של סכום פונקציות== | |||
גרסה מ־10:52, 5 במאי 2021
בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן בלתי מדויק, במטרה להבין את מושג הנגזרת.
את התאורייה המלאה ניתן ללמוד בקישור הבא - https://calc1.math-wiki.com
גזירות
פונקציה נגזרת גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.
בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.
קירוב לינארי
לפיכך, אם פונקציה במשתנה אחד גזירה בנקודה x אנחנו מצפים שעבורים צעדים "קטנים" h יתקיים:
[math]\displaystyle{ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\approx f'(x) }[/math]
בנוסח אחר אנחנו מצפים כי
[math]\displaystyle{ f(x+h)-f(x)\approx f'(x)h }[/math]
או
[math]\displaystyle{ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h }[/math]
נשים לב כי הביטוי מימין הוא הישר המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה x, ואנחנו סה"כ אומרים שהפונקציה תהיה בערך שווה למשיק באיזור הנקודה.
דוגמא
עבור [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x} }[/math] מתקיים כי הנגזרת בנקודה [math]\displaystyle{ x=9 }[/math] היא [math]\displaystyle{ f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6} }[/math]
לכן למשל עבור [math]\displaystyle{ h=1 }[/math] נקבל כי
[math]\displaystyle{ \sqrt{10}=f(9+h)\approx f(9)+f'(9)\cdot h=3+\frac{1}{6}\cdot 1 }[/math]
ואם נציב במחשבון את שני הצדדים נראה שאכן
[math]\displaystyle{ \sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6} }[/math]
נוסחאות הגזירה
כעת נראה כיצד נוסחאות הגזירה מופיעות כאשר מחליפים בין פונקציות למשיקים שלהן (הקירוב הלינארי).
כאמור, לא נעסוק בהוכחות מדוייקות. דיוק הטענות הבאות הוא ברמות קושי משתנות בין הנוסחאות השונות.