קירוב לינארי

בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן בלתי מדויק, במטרה להבין את מושג הנגזרת.

את התאורייה המלאה ניתן ללמוד בקישור הבא - https://calc1.math-wiki.com

גזירות

פונקציה נגזרת גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.

בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.

קירוב לינארי

לפיכך, אם פונקציה במשתנה אחד גזירה בנקודה x אנחנו מצפים שעבורים צעדים "קטנים" h יתקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\approx f'(x) }[/math]

בנוסח אחר אנחנו מצפים כי

[math]\displaystyle{ f(x+h)-f(x)\approx f'(x)h }[/math]

או

[math]\displaystyle{ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h }[/math]

נשים לב כי הביטוי מימין הוא הישר המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה x, ואנחנו סה"כ אומרים שהפונקציה תהיה בערך שווה למשיק באיזור הנקודה.

דוגמא

עבור [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x} }[/math] מתקיים כי הנגזרת בנקודה [math]\displaystyle{ x=9 }[/math] היא [math]\displaystyle{ f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6} }[/math]

לכן למשל עבור [math]\displaystyle{ h=1 }[/math] נקבל כי

[math]\displaystyle{ \sqrt{10}=f(9+h)\approx f(9)+f'(9)\cdot h=3+\frac{1}{6}\cdot 1 }[/math]

ואם נציב במחשבון את שני הצדדים נראה שאכן

[math]\displaystyle{ \sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6} }[/math]

נוסחאות הגזירה

כעת נראה כיצד נוסחאות הגזירה מופיעות כאשר מחליפים בין פונקציות למשיקים שלהן (הקירוב הלינארי).

כאמור, לא נעסוק בהוכחות מדוייקות. דיוק הטענות הבאות הוא ברמות קושי משתנות בין הנוסחאות השונות.

נגזרת של סכום, מכפלת ומנת פונקציות

בהנתן [math]\displaystyle{ f,g }[/math] שתי פונקציות גזירות בנקודה x, אנחנו מצפים ש

[math]\displaystyle{ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x+h)\approx g(x)+g'(x)h }[/math]

נגזרת הסכום

כאשר נסכום את שני המשיקים, נקבל בקלות את המשיק לפונקצית הסכום:

[math]\displaystyle{ (f+g)(x+h)=f(x+h)+g(x+h)\approx f(x)+g(x)+(f'(x)+g'(x))h }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ (f+g)'=f'+g' }[/math]

נגזרת המכפלה

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)(x+h)=f(x+h)g(x+h)\approx (f(x)+f'(x)h)(g(x)+g'(x)h)=f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h +f'(x)g'(x)h^2 }[/math]

כבר יפה מאד! אנחנו רואים את המשיק [math]\displaystyle{ f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h }[/math] ואכן נגזרת המכפלה היא גזור שמור ועוד שמור גזור [math]\displaystyle{ (fg)'=f'g+fg' }[/math].

אבל, אנחנו רואים ביטוי נוסף [math]\displaystyle{ f'(x)g'(x)h^2 }[/math]. ברוח חוסר הדיוק, נסתפק בהסבר שכיוון שh מספר בסביבת אפס, [math]\displaystyle{ h^2 }[/math] יהיה זניח לעומתו.

כמובן שזו לא טענה תקיפה מתמטית, אבל כאמור אפשר לנסח אותה באופן מדוייק, אך מסורבל יותר.

נגזרת המנה

נתחיל כמו במקרים הקודמים

[math]\displaystyle{ \left(\frac{f}{g}\right)(x+h)=\frac{f(x+h)}{g(x+h)}\approx \frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h} }[/math]

הפעם זה כלל לא נראה כמו משיק. אנחנו ציפינו לביטוי מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)}+m\cdot h }[/math] כאשר m הוא שיפוע המשיק.

נשתמש בשיטת WIN קיצור של Wouldn't it be nice. נוסיף את הביטוי [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} }[/math] ונחסיר אותו.

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h}=\frac{f(x)}{g(x)} + \left(\frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h} - \frac{f(x)}{g(x)}\right) }[/math]

נעשה מכנה משותף ונקבל

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)}+ \frac{g(x)(f(x)+f'(x)h)-(g(x)+g'(x)h)f(x) }{g(x)(g(x)+g'(x)h)} }[/math]

נפשט את הביטוי

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)}+\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)+g(x)g'(x)h} \cdot h }[/math]

שוב ללא הסברים מלאים נזניח את הביטוי [math]\displaystyle{ g(x)g'(x)h }[/math]

ונקבל את המשיק, ואכן [math]\displaystyle{ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2} }[/math] כפי שאנו מכירים.

נגזרת של הרכבת פונקציות

תהי g הגזירה בנקודה x ולכן

[math]\displaystyle{ g(x+h)\approx g(x)+g'(x)h }[/math]

ותהי f הגזירה בנקודה [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ f(g(x)+h)\approx f(g(x))+ f'(g(x))h }[/math]

כעת נרצה לחשב את המשיק בנקודה x של הפונקציה המורכבת [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math]

לכן נחשב

[math]\displaystyle{ (f\circ g)(x+h)=f(g(x+h))\approx f(g(x)+g'(x)h)\approx f(g(x))+f'(g(x))(g'(x)h) }[/math]

אכן, הנגזרת של ההרכבה היא [math]\displaystyle{ (f(g(x))'=f'(g(x))g'(x) }[/math]